Question

5 problemas de las leyes de kepler resueltos , .

Answer 1

Ejercicio 1 Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una ´orbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotaci´on T1 = 2 a˜nos, mientras que el planeta 2 describe una ´orbita el´ıptica cuya distancia m´as pr´oxima es r1 = 108 km y la m´as alejada es r2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra la figura. ¿Cu´al es el periodo de rotaci´on del planeta 2? Soluci´on 1 Para un objeto que recorre una ´orbita el´ıptica su distancia media al astro central coincide con el valor del semieje mayor de la elipse. De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es: r = r1 + r2 2 = 108 + 1,8 · 108 2 = 1,4 · 108 km Aplicando la tercera ley de Kepler: T 2 1 r 3 1 = T 2 2 r 3 Y sustituyendo: 2 2 (108 ) 3 = T 2 2 (1,4 · 108 ) 3 Despejando el periodo de rotaci´on del planeta 2 es: T2 = 3,3 a˜nos. Ejercicio 2 Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una ´orbita circular de 150 millones de kil´ometros de radio. Soluci´on 2 Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslaci´on de la Tierra, se cumple que: F = mT · aN G · mS · mT r 2 = mT · v 2 r G · mS r = v 2 Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relaci´on con el periodo de traslaci´on, se tiene: G · mS r = 4 · π 2 · r 2 T 2 mS = 4 · π 2 G · r 3 T 2 El periodo es (tomando el a˜no como 365,25 d´ıas): T = 3,156 · 107 s Sustituyendo: mS = 4 · π 2 6,67 · 10−11 · (150 · 109 ) 3 (3,156 · 107 ) 2 = 2,01 · 1030km Ejercicio 3 La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la Tierra. Calcula lo que pesar´a en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa de 70 kg. Soluci´on 3 Aplicando la ley de gravitaci´on universal en la superficie de la Luna, se tiene: PL = G · mL · m R2 L = G · (mT /81) · m (RT /4)2 = 16 81 · G · mT R2 T · m = 16 81 · g0,T · m Sustituyendo: PL = 16 81 · 9,8 · 70 = 135,5N Ejercicio 4 Expresa en funci´on del radio de la Tierra, a qu´e distancia de la misma un objeto que tiene una masa de 1 kg pesar´a 1 N. 2 Soluci´on 4 Aplicando la ley de gravitaci´on universal: P = FT,obj = G · mT · m r 2 r = s G · mT · m P Aplicando la relaci´on: g0 = G · mT R2 T G · mT = g0 · R2 T , se tiene: r = r g0 · R2 T · m P = RT · s 9,8 · 1 1 = 3,13 · RT Ejercicio 5 Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, despreciando el movimiento de rotaci´on de la Tierra sobre s´ı misma y considerando a la ´orbita de la Tierra como circular. Datos: MT = 6 · 1024 kg; rorbita ´ = 1,5 · 108 km Soluci´on 5 La velocidad de traslaci´on de la Tierra alrededor del Sol es: v = 2 · π · r t = 2 · π · 1,5 · 108 365 · 24 · 3600 = 30 km/s Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la ´orbita de la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posici´on y el vector velocidad de la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la ´orbita del planeta, cuyo m´odulo es: |L~| = |~r × m · ~v| = r · m · v · sin 90◦ = 1,5 · 1011 · 6 · 1024 · 3 · 104 = 2,7 · 1040 kg· m 2 /

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