Question

el vertice sea el punto de coordenadas (2,-1)corte al eje x en los puntos (-3,0)y(5,0cuantas ecuaciones de parabolas puedes escribir que cumplan las condiciones anteriores.

Answer 1

Datos

Vértice: (2,-1)

Cortes con eje x:   (-3,0) y (5,0)

Análisis

Dibujamos primero en un plano cartesiano la ubicación del vértice y los puntos de los cortes con el eje X. Notamos que la parábola para poder cumplir con estar tres condiciones debe abrir hacia el lado positivo del eje Y  (arriba). 

Conociendo el valor del vértice podemos y usando la ecuación general para parabolas que abren en el eje Y:

(x-h)² = 4p(y-k)                              , con V = (h,k) = (2,-1)
(x-2)² = 4p(y+1)                             , donde p es la distancia focal
x² - 4x + 4 = 4p(y+1)

Si y = 0

x² - 4x + 4 = 4p

Evaluamos para el punto (5,0):

5² - 4.5 + 4 = 4p
25 - 20 + 4 = 4p 
9 = 4p
p = 9/4

Por lo tanto al ecuación queda como:

x² - 4x + 4 = 9(y+1)
x² - 4x + 4 = 9y + 9
x² - 4x - 5  = 9y
y = (x² - 4x - 5)/9

Cuando existen dos cortes al eje X estos deben tener la misma distancia respecto al eje focal (x=2):

(5,0) está a 3 unidades del eje
(-3.0) está a 5 unidades del eje

Por tanto no puede haber una parábola donde ambos sean cortes del eje X. Adjunta está la gráfica.