Question

ejercicio: la circunferencia es tangente ala recta x -y=2 en el punto (4,2) y el centro esta en el eje x

Answer 1

Muy sencillo!
Mira
sabemos que su centro esta sobre el eje x , entonces k=0 
sabemos que ese punto esta en la recta -(1)- x-y=2
si yo trazo otra recta perpendicular a esa  su centro esta igual en esta nueva      recta

asi que de la recta (1) vamos a calcular su pendiente despejando Y
y=x-2  la pendiente es el coeficiente que acompaña a x en este caso m1=1

bien, para crear la nueva recta donde estara su centro , su pendiente debe ser -1 , puesto que para que dos rectas sean perpendiculares el producto de sus pendientes debe ser -1

entonces ya sabemos que la nueva recta a generar su pendiente es -1 y que pasa por (4,2) porque obviamente va a intersectar a la recta(1)

entonces
y-y1=m(x-x1)
y-2=-1(x-4)
-(2)-  y=-x+6
entonces (2) es tu nueva recta perpendicular a (1) donde en "y" estara "k" y en "x" estara "h"

sustituimos  "k" en" y" y "h" en" x"
asi
k=-h+6
sabemos que k es 0 porque esta sobre el eje x
entonces tenemos 0=-h+6
despejando h tenemos que h es 6
h=6

ya tenemos su centro C(6,0)
para calcular su radio podemos sacar la distancia del centro a el punto(4,2)
R^2=(6-4)^2+(0-2)^2=8 
Entonces el radio al cuadrado vale 8 entonces ya tenemos todo para hacer la ecuacion
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

(x+6)^2+(y-0)^2=8

esa es la ecuación de la circunferencia saludos! te dejo la foto de la circunferencia y las rectas