Question

cual es el digito de las unidades de 7^2012

Answer 1

• Por inducción matemática:
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7^1 = 7 
7^2 = 49     →  última cifra = 9  (otro modo: 7*7 = 49 ... ultima cifra = 9)
7^3 = 343   →  última cifra =  3  (otro modo: 9*7 = 63 ... ultima cifra = 3)
7^4 = ...1   → última cifra = 1  ( "pues 3*7 = 21 " , nos interesa la ultima cifra)
7^5 = ... 7  → última cifra = 7  (" pues 1*7 = 7 ", nos interesa la ultima cifr)
7^6 = ... 9  → última cifra = 9  (" pues 7*7 = 49 " , nos interesa la ultima cifra)
7^7 = ... 3  → última cifra = 3 (" pues 9*7 = 63 " , nos interesa la ultima cifra)

Observe que a partir de 7^5, la ultima cifra nuevamente es 7 y se repite el mismo patrón con respecto a la ultima cifra, es decir, cada 4 potencias, la ultima cifra empieza a repetirse ( 7 , 9 , 3 , 1 , 7 , ... )

Entonces , para averiguar por ejemplo ¿cual es la ultima cifra de 7^7? , trabajaria con los residuos de dividir el exponente de la potencia entre 4,, asi cuando:

Para  residuo = 1      → ultima cifra = 7
Para residuo = 2     → ultima cifra = 9
Para residuo = 3     → ultima cifra = 3
Para residuo = 0      → ultima cifra = 1

Entonces:

7/4 → cociente = 1 , residuo = 3

Por lo tanto: la última cifra de 7^7 es: 3 . (Lo cual es correcto! Observe la tabla que hicimos al inicio)

Otro ejemplo: Para 7^8 :

8/4 → cociente = 2  , residuo = 0

Entonces: La ultima cifra de 7^8 será: 1

Correcto! pues 7^8 = 5764801

Otro ejemplo: Para 7^20:

20/4 → cociente = 5 , residuo = 0

Entonces: La ultima cifra de  7^20  es 1: (Correcto!)

OJO: 7^20 = 79792266297612001  (Comprobado con calculadora)


Ahora, con el ejercicio. Se nos pide hallar la ultima cifra de 7^2012

#Solución:

2012/4 → cociente = 503  , residuo = 0

Por lo tanto, la ultima cifra de 7^2012 será: 1 ← Rpta:

Espero que me hayas comprendid Eso es todo1!! Saludos!