Question

Demuestra las siguientes afirmaciones aplicando la relacion entre las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares.

Si la recta ∫1 pasa por ( -4 , 3 ) y (-2 , -1 ) y la recta ∫2 pasa por (2,3) y (4, -1 ) entonces con ∫1 y ∫2 se puede formar un paralelogramo tomando estos cuatro puntos.

si la recta ∫1 pasa por (2,4 ) y (4,6); la recta ∫2 pasa por (2,4) y (6,0) y la recta ∫3 pasa por los puntos (4,6) , (6,0) entonces con ∫1, ∫2 y ∫ 3 se puede formar un triangulo
rectangulo

AYUDA PLOX K TENGO K HACER !

Answer 1

Recta 1 pasa por (-4,3) y (-2,-1)
Recta 2 pasa por (2,3) y (4,-1)

Si las rectas 1 y 2 son paralelas , se demuestra que esos puntos pueden formar un paralelogramo. 
Para que las rectas sean paralas, las pendientes de ambas rectas deben de tener el mismo valor.

Usando la ecuacion de la recta  y los dos puntos en cada recta se obtiene a la pendiente m 
$y-y_1=m(x-x_1)$

Con la recta 1 
(-4,3) y (-2,-1)
$(-1-3)=m_1(-2-(-4)) \\ \\ -4=m_1(-2+4) \\ m_1(2)=-4\\ m_1= \frac{-4}{2} \\ \\ m_1=-2$

Con la recta 2
(2,3) y (4,-1)
$(-1-3)=m_2(4-2) \\ \\ -4=m_2(2) \\ m_2(2)=-4\\ m_2= \frac{-4}{2} \\ \\ m_2=-2$

$m_1=-2 \\ \\ m_2=-2 \\ \\ \bf m_1=m_2 \\ \\ \textbf{ Las rectas son paralelas y por ende forman un paralelogramo}$


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Recta 1 pasa por  (2,4) y (4,6)
Recta 2 pasa por (2,4) y (6,0)
Recta 3 pasa por (4.6) y (6,0)
Demostrar que los puntos forman un triangulo rectangulo

Para demostrar que es un triangulo , las coordenadas tienen los puntos comunes (2,4), (4,6) y (6,0), graficandolos podras ver que efectivamente se tiene un triangulo

Para demostrar que el triangulo es rectangulo, se debe demostrar que dos de sus lados forman un angulo de 90 grados, y que es equivalente a encontrar que las dos rectas que forman esos dos lados son perpendiculares.
Para demostrar que dos rectas son perpendiculares, se debe de cumplir que la multiplicacion de sus dos pendientes es igual a -1
$\bf m_1\times m_2=-1$

De la grafica que anexo, para llegar mas rapido a la demostracion, puedes ver que el lado formado por los puntos (2,4) (4,6) , recta 1  y (2,4)(6,0) recta 2 son los dos lados que forman el angulo interno recto, por lo que debemos de obtener la pendiente de cada recta y multiplicarlas para darnos  -1 , de ser asi, se comprobaria que el triangulo es rectangulo.

Recta 1 
(2,4) (4,6)
$(6-4)=m_1(4-2) \\ \\ 2=m_1(2) \\ \\ m_1=1$

Recta 2
(2,4) (6,0)
$(0-4)=m_2(6-2) \\ \\ -4=m_2(4) \\ \\ m_2=-1$

Con los valores de 
$m_1=1 \\ \\ m_2=-1 \\ \text{se verifica que las pendientes sean perpendiculares} \\ \\ m_1\times m_2=-1 \\ \\ \bf 1\times -1 = -1 \\ \\ -1=-1 \\ \\ \textbf{Se comprueba que el triangulo es rectangulo}$