Question

Cuantos terminos se deben sumar de la progresion 2,5,8,11,... para que el resultado sea 1855

Answer 1

Hola!

Para hallar la respuesta a esta pregunta debemos utilizar la fórmula de la sumatoria de los términos de una progresión aritmética que dice lo siguiente:
$S = \frac{n(a1 + an)}{2}$

En donde a1 representa el primer término, an representa el término enésimo y n representa la cantidad de términos de la progresión.

En este caso, debemos despejar la n para hallar su valor, pero por ahora no conocemos el valor del término enésimo, por lo que diremos que:

- La fórmula para el cálculo del término general o enésimo es la siguiente:
an = a1 + (n - 1)d

Donde d representa la relación de recurrencia de la progresión que se obtiene al calcular la diferencia entre los términos consecutivos.

Entonces... d = a2 - a1
d = 5 - 2
d = 3

Y si   an = a1 + (n - 1)d,   por lo tanto an = 2 + (n-1)3
an = 2 + 3n - 3
an = 3n - 1

Reemplazamos este valor en la fórmula de la sumatoria de los términos y decimos lo siguiente:
$S = \frac{n(a1 + an)}{2}$
$1.855 = \frac{n[(2) + (3n - 1)]}{2}$
$1.855 = \frac{n(3n + 1}{2}$
1.855 x 2 = 3n² + n
3.710 = 3n² + n   ⇒   3n² + n - 3.710

Y ahora utilizaremos la fórmula cuadrática para hallar el valor de n:
$\frac{-b +- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\frac{-(1) +- \sqrt{1^{2}-4(3)(3710)}}{2(3)}$
$\frac{-(1) +- \sqrt{44521}}{6}$
$\frac{-1+211}{6}$     o    
$\frac{-1-211}{6}$
n = 35   o   n = -0,33

En este caso descartaremos el resultado negativo y diremos que se deben sumar 35 términos de la progresión 2, 5, 8, 11,.... para que la suma de estos sea 1.855

Saludos!