Question

sabiendo que el 4 termino de una progresion geometrica es 2500 y el 7 termino es 160. encuentre lis 10 primeros terminos.

Answer 1

Hay que construir esa PG a partir de los dos términos que nos dan y para ello es necesario conocer el primer término  a₁

Pero para conocer  a₁  antes hay que conocer la razón "r" de esa PG, que sabrás que es el número por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente.

Para hallar "r" existe una fórmula que se basa en la interpolación de dos términos cualquiera de la progresión "a = 2500" , "b = 160"  y la distancia "m" entre ellos contada en términos faltantes, en nuestro caso nos dan el 4º y el 7º con lo que m=2 que son los términos 5º y 6º que hay que interpolar.

La fórmula dice:  
$r= \sqrt[m+1]{ \frac{b}{a} } = \sqrt[2+1]{ \frac{160}{2500} } = \sqrt[3]{0,064}=0,4$

Sabiendo la razón = 0,4 nos apoyamos en la fórmula del término general para averiguar el valor del primer término a₁  sabiendo el 4º término = 2500 y el número de términos hasta el mismo, n=4 ... 

$a_n=a_1* r^{n-1} \\ \\ a_4=2500=a_1* 0,4^{4-1} \\ \\ a_1= \frac{2500}{0,4^3} =39062,5$

Ahora ya sólo es un tema simple de ir multiplicando ese término 39062,5 sucesivamente por la razón 0,4 para obtener los 10 primeros términos.

Eso te lo dejo a ti.

Saludos.

PD: Los otros dos ejercicios que tienes publicados se resuelven exactamente igual. El mismo procedimiento.