Question

La ley de hardy-weinberg- Usar multiplicadores deLaGrange para hacer máximo el valor deP(p, q, r) = 2pq +2pr + 2qr sujeto a p + q + r = 1.

Answer 1

(1) Hallemos la función de Lagrange

$F(p,q,r,\lambda)=P-\lambda(p+q+r-1)\\ \\ F(p,q,r,\lambda)=(2pq +2pr + 2qr)-\lambda(p+q+r-1)\\ \\ (2)~\texttt{Puntos cr\'iticos de }F\\ \\ F_p=2(q+r)-\lambda=0\\ F_q=2(p+r)-\lambda=0\\ F_r=2(p+q)-\lambda=0\\ \\ \texttt{Sumando: }4(p+q+r)-3\lambda=0\to 4-3\lambda=0\to \lambda =\dfrac{4}{3}\\ \\ \\ (3)~\texttt{De (2) tenemos: }p=q=r=\dfrac{\lambda}{4}=\dfrac{1}{3}\\ \\ \texttt{As\'i }(p,q,r)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right)\texttt{ es un punto cr\'itico}$

(4) Ahora veamos si ese punto crítico o estacionario es extremo de la función P (criterio de Sylvester)

(4.1) Hallemos las primeras derivadas de P
$P_p=2(q+r)=\dfrac{4}{3}\\ \\ P_q=2(p+r)=\dfrac{4}{3}\\ \\ P_r=2(p+q)=\dfrac{4}{3}$

(4.2) Las segundas derivadas de P
$P_{pp}=P_{qq}=P_{rr}=0\\ \\ P_{pq}=P_{pr}=P_{qr}=2$

(4.3) Matriz Hessiana

$\texttt{Sea }g(p,q,r)=p+q+r-1\\ \\ H=\left(\begin{matrix} 0&-g_p&-g_q&-g_r\\ -g_p&F_{pp}&F_{pq}&F_{pr}\\ -g_q&F_{qp}&F_{qq}&F_{qr}\\ -g_r&F_{rp}&F_{rq}&F_{rr} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0&-1&-1&-1\\ -1&0&2&2\\ -1&2&0&2\\ -1&2&2&0 \end{matrix}\right)\\ \\ \\ H_3=\left(\begin{matrix} 0&-1&-1\\ -1&0&2\\ -1&2&0 \end{matrix}\right)\to \det(H_1)=4\ \textgreater \ 0\\ \\ \\ H_4=H\to\det{H_4}=-12\ \textless \ 0$

$\texttt{Por ende }(p,r,s)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right)\texttt{ es un punto de m\'aximo}$


Referencia: 
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange

(Véase la parte de el caso n-dimensional)