Question

Un plano en R3 que no pasa por el origen no es un subespacio de R3, PORQUE el plano no contiene al vector cero de R3.

Answer 1

Validar o comprobar lo que dice el planteamiento puede ser algo engorroso, pero voy a tratar de explicarlo de la mejor manera posible.

Una línea en un plano representa un vector.  A un conjunto en el que se encuentran estas líneas que representan vectores se le denomina espacio vectorial.  En el espacio vectorial ocurren  suma y multiplicación de números complejos, de acuerdo a ciertos criterios o axiomas establecidos. El espacio vectorial es un conjunto no vacío V.

Se le llama subespacio vectorial (H) a todo subconjunto (H ⊂ V) dentro de un espacio vectorial V asumiéndose él mismo como un espacio vectorial que adquiere las operaciones de suma y multiplicación del espacio vectorial V.

Para determinar si un subconjunto H es un subespacio lineal debe comprobarse que es cerrado, ya que: la suma de dos vectores ocurre dentro del espacio, o bien el producto de algún número verdadero de un elemento vectorial pertenece a H. A esto se le denomina los criterios del subespacio vectorial.

Ya entendiendo los criterios para definir subespacio H, podemos decir que todas las operaciones vectoriales de H están dentro de H.

Algebraicamente se debe comprobar que es un conjunto cerrado. Existe una forma de comprobar  que un  conjunto  no es un subespacio: cuando el vector 0 no pertenece al conjunto. 

El subespacio R3 planteado no constituye un subespacio, dado que: no posee vector 0 y, además,  un plano que no pasa por el origen no constituye un subespacio vectorial.