Question

metodo de integracion por fracciones parciales , ayuda por favor

Answer 1

La finalidad de la integracion por fracciones parciales, es descomponer una funcion racional, en funciones racionales mas sencillas de integrar.

Supongamos que tenemos una funcion racional F(x)/G(x), si nuestra funcion racional es impropia (Una funcion racional impropia es aquella en la que el grado del polinomio del numerador es mayor o igual al grado del polinomio del denominador) podemos dividir y nos quedaria= Q(x)-R(x)/G(x)
Siendo Q(x) el cociente de la division y R(x) el residuo.

Una vez que tenemos una funcion racional PROPIA, procedemos a factorizar el denominador.

Una vez fractorizamos el denominador pueden presentarse 4 casos:

Caso 1

Si al factorizar q(x), q(x) tiene raices reales simples, es decir:
q(x)=(x-a)(x-b)

Entonces decimos que:
p(x)/q(x)=A/(x-a)+B/(x-b)

ahora debemos hallar los valores de A y B.  para ello multiplicamos ambos lados de la igualdad por (x-a)(x-b), es decir por q(x) y nos queda
p(x)=A(x-b)-B(x-a)

Siendo p(x)=x-c podemos armar el siguiente sistema de ecuaciones:
x-c=Ax-Ab-Bx+Ba,

si igualamos terminos segun sus grados podemos armar el siguiente sistema de ecuaciones:
(i) x=Ax-Bx
(ii) -c=-Ab+Ba
 de esta manera podriamos despejar el valor de A y de B. y nuestra integral quedaria:
∫P(x)/Q(x) dx=∫ (x-c)/(x-a)(x-b) dx=∫A/(x-a) dx +∫B/(x-b) dx

Caso 2 Si q(x) tiene raices reales con multiplicidad n>1, es decir:
q(x)=(x-a)ⁿ
Entonces

p(x)/q(x)=(A(n)/(x-a)ⁿ)+(A(n-1)/(x-a)ⁿ⁻¹)+....+(A1/(x-a)¹)

Multiplicamos a ambos lado de la igualdad por (x-a)ⁿ y procedemos a despejar Las variables de An, An-1,.....,A1 de la misma manera que lo hicimos en el caso 1

Caso 3 Si q(x) tiene raices complejas tal que x=a+ib, tal que q(x)=[(x-a)²+b²]

Nos quedaria
p(x)/q(x)=A(x-a)+B/[(x-a)²+b²]

Multiplicamos a ambos lado de la igualdad por [(x-a)²+b²] y procedemos a despejar A y B como en los casos 1 y 2

Caso 4 q(x) tiene raiz compleja doble, tal que q(x)=[(x-a)²+b²]²

Nos quedaria
p(x)/q(x)=[A(x-a)+B/[(x-a)²+b²] [(x-a)²+b²] ²]²]+[C(x-a)+D/[(x-a)²+b²]²]

Procedemos a multiplicar Ambos lados de la igualdad por
[(x-a)²+b²]² y luego despejamos A,B,C y D como lo hicimos en el caso 1

Espero te sirva de guia :) es muy sencillo en todos los casos debes:
1- hallar las raices de q(x) es decir factorizar
2-Desarrolar en fracciones parciales haciendo las sumatorias de las fracciones segun corresponda el caso,
Caso1 p(x)/q(x)=A/(x-a)+B/(x-b)
Caso2 p(x)/q(x)=(A(n)/(x-a)ⁿ)+(A(n-1)/(x-a)ⁿ⁻¹)+....+(A1/(x-a)¹)
Caso3 p(x)/q(x)=A(x-a)+B/[(x-a)²+b²]
Caso4 p(x)/q(x)=[A(x-a)+B/[(x-a)²+b²] [(x-a)²+b²] ²]²]+[C(x-a)+D/[(x-a)²+b²]²]

3- Multiplicas ambos lados de la igualdad por q(x) factorizado

4- Igualas terminos semejantes y armas sistema de ecuaciones para hallar las variables de las fracciones parciales

5-Sustituyes en tu integral y casi siempre te quedaran integrales directas de tu tabla de integrales