Question

TEMA: Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Hallar una función f, de tal manera que:
f'(x) = f(x)*(1 - f(x)), y f(0) = 1/2.

Answer 1

h' = h(1-h)
Sujeta a h(0) = 1/2.

Resolviendo por separación de variables:
dh/dx = h(1-h)
dh/h(1-h) = dx
∫dh/h(1-h) = ∫dx
∫-1/h(h-1) dh= x

Sumando 0 en el numerador (-h+h):
∫h-1-h/h(h-1) dh= x
∫h-1/h(h-1) dh -  ∫h/h(h-1) dh= x

∫dh/h -  ∫dh/(h-1) = x
Ln h - Ln(h-1) + c₁= x

Despejando h:

Ln(h/(h-1))= x - c₁

e^(x - c₁) = h/(h-1)
(h-1)e^(x - c₁) = h
he^(x - c₁)-e^(x - c₁) = h
he^(x - c₁) -h= e^(x - c₁)
h=e^(x - c₁)/(e^(x - c₁) - 1) = e^(x - c₁)/(e^(x - c₁) - 1)
h= (eˣ/c₂)/(eˣ/c₂) - 1) = eˣ/(eˣ+k)
h(0)=1/2 = 1/(1+k), luego k=1.

(aquí e^(c₁), es otra constante igual a c₂, y 1/c₂ = k)

Luego h(x) = eˣ/(eˣ+1)