Question

La hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 100cm y su perimetro 224 ¿cuanto miden sus catetos?

Answer 1

Los lados de un triángulo rectángulo son: a, b, c, entonces planteamos:

SEA:
a: El cateto menor.
b: El cateto mayor.
c: 100 cm. (hipotenusa).
Perímetro: 224 cm.

RESOLVIENDO:

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados a, b y c, osea,
P = a + b + c, entonces:

$a+b+100=224\quad\to\ Simplificamos\\ \\a+b=224-100\\ \\a+b=124\quad\Longrightarrow\ Ecuaci\'on\ 1$

Vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras, en donde c² = a² + b², entonces:

$a ^{2}+b ^{2}=(100) ^{2}\quad\Longrightarrow\ Ecuaci\'on\ 2$

Despejamos la "b" en la ecuación 1 y reemplazamos en la ecuación 2:

$b=124-a\\ \\\textbf{Entonces:}\\ \\a ^{2}+(124-a) ^{2}=(100) ^{2}\\ \\\textbf{Tenemos\ el\ cuadrado\ de\ un\ binomio\ y\ lo\ resolvemos\ con\ la}\\\textbf{siguiente\ f\'ormula:}\ (a-n) ^{2}=a ^{2}-2an+n ^{2}:\\ \\a ^{2}+(124) ^{2}-2(124a)+(a) ^{2}=(100) ^{2}\\ \\a ^{2}+15376-248a+a ^{2}=10000\\ \\2a ^{2} -248a+15376=10000\quad\to\ Simplificamos\\ \\ \dfrac{2a ^{2}-248a+15376=10000 }{2}\\ \\a ^{2}-124a+7688=5000\quad\to\ Igualamos\ a\ cero.\\ \\a ^{2}-124a+7688-5000=0$

$a ^{2}-124a+2688=0\quad\to\ Resolvemos\ por\ factorizaci\'on.\\ \\(a-96)(a-28)=0\\ \\ \\a_{1}=96\ cm.\quad\Longrightarrow\boxed{El\ cateto\ mayor\ (b).}\\ \\a_{2}=28\ cm.\quad\Longrightarrow\boxed{El\ cateto\ menor\ (a).}\\ \\ \\\mathbb{RESPUESTA:}\\ \\\boxed{ \boxed{a=28\ cm.\ ;\ b=96\ cm.\quad\checkmark}}\\ \\ \\\textbf{MUCHA\ SUERTE...!!}$

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