Una compañía encuentra que el costo de producir x artículos diarios está dado por la ecuación c(x)=420-0.8x+0.002x^2. ¿Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea mínimo?
Respuestas
Respuesta dada por:
6
El minimo se encuentra con el uso de las derivadas.
Se deriva la funcion :
![c(x)=420-0.8x+0.002x^2 \\ \\ c'(x)=-0.8+2(0.002x) \\ \\c'(x)=-0.8+ 0.004x \\ \\ \\ \text{A laprimera derivada se le iguala a cero y se resuelve} \\ \\-0.8+0.004x \\ \\ x= \frac{0.8}{0.004} \\ \\ \bf x=200 c(x)=420-0.8x+0.002x^2 \\ \\ c'(x)=-0.8+2(0.002x) \\ \\c'(x)=-0.8+ 0.004x \\ \\ \\ \text{A laprimera derivada se le iguala a cero y se resuelve} \\ \\-0.8+0.004x \\ \\ x= \frac{0.8}{0.004} \\ \\ \bf x=200](https://tex.z-dn.net/?f=c%28x%29%3D420-0.8x%2B0.002x%5E2+%5C%5C+++%5C%5C+c%27%28x%29%3D-0.8%2B2%280.002x%29+%5C%5C++%5C%5Cc%27%28x%29%3D-0.8%2B+0.004x+%5C%5C++%5C%5C++++%5C%5C+%5Ctext%7BA+laprimera+derivada+se+le+iguala+a+cero+y+se+resuelve%7D+%5C%5C++%5C%5C-0.8%2B0.004x++%5C%5C++%5C%5C+x%3D+%5Cfrac%7B0.8%7D%7B0.004%7D+++%5C%5C++%5C%5C+%5Cbf+x%3D200)
Se obtiene la segunda derivada y se susbtituye el valor encontrado de x ( si aplica).
Segunda derivada:
![c'(x)=-0.8+ 0.004x \\ \\ c"(x)=0.004 \\ \\ c'(x)=-0.8+ 0.004x \\ \\ c"(x)=0.004 \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=c%27%28x%29%3D-0.8%2B+0.004x+%5C%5C++%5C%5C+c%22%28x%29%3D0.004+%5C%5C++%5C%5C+)
No se puede susbtituir el valor de x, sin embargo , nos da positivo,indicandonos que se tiene el minimo
Lo que resta es obtener el valor de la funcion con el valor de x encontrado en la primera derivada para determinar el valor minimo de la funcion:
![x=200 \\ \\ c(x)=420-0.8x+0.002x^2 \\ \\ c(x)=420-0.8(200)+0.002(200)^2 \\ \\ c(x)=340 \\ \\ x=200 \\ \\ c(x)=420-0.8x+0.002x^2 \\ \\ c(x)=420-0.8(200)+0.002(200)^2 \\ \\ c(x)=340 \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D200+%5C%5C++%5C%5C+c%28x%29%3D420-0.8x%2B0.002x%5E2+%5C%5C++%5C%5C+c%28x%29%3D420-0.8%28200%29%2B0.002%28200%29%5E2+%5C%5C++%5C%5C+c%28x%29%3D340+%5C%5C++%5C%5C+)
El costo minimo es de 340 que corresponde a una produccion de 200 articulos, menos de 200 articulos a mas de 200 articulos eleva el costo de produccion.
Anexo la grafica en donde se ve el punto de 200 articulos que corresponde al costo minimo de 340 .
Se deriva la funcion :
Se obtiene la segunda derivada y se susbtituye el valor encontrado de x ( si aplica).
Segunda derivada:
No se puede susbtituir el valor de x, sin embargo , nos da positivo,indicandonos que se tiene el minimo
Lo que resta es obtener el valor de la funcion con el valor de x encontrado en la primera derivada para determinar el valor minimo de la funcion:
El costo minimo es de 340 que corresponde a una produccion de 200 articulos, menos de 200 articulos a mas de 200 articulos eleva el costo de produccion.
Anexo la grafica en donde se ve el punto de 200 articulos que corresponde al costo minimo de 340 .
Adjuntos:
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