Question

Determine para qué valores de a ∈IR, el sistema tiene infinitas soluciones.

(1-a)x+2y=3
3(1+a)x+8y=12

Answer 1

Veamos. El sistema tiene infinitas soluciones cuando una de las ecuaciones es un múltiplo entero de la otra.

Si a la primera ecuación la multiplicamos por 4 resulta.

4(1-a)x + 8y = 12

Observamos que los términos independientes y los coefeicientes de y son iguales.

Si además los coeficientes de x también son iguales, entonces la primera es 4 veces la segunda y tendríamos infinitas soluciones.

4(1-a) = 3(1+a): 4 - 4a = 3 - 3a; 1 = 7a; por lo tanto a = 1/7

Reemplazamos:

(1-1/7)x + 2y = 3; 3 (1+1/7)x + 8y = 12

6/7 x + 2y = 3; 24/7 x + 8y = 12

Se observa que si multiplicamos por 4 a la primera se obtiene la segunda.

Verificamos. Elijo x = 0 (arbitrariamente)

1) 2y = 3; por lo tanto y = 3/2 en la primera.
2) 8y = 12; y = 3/2 en la segunda

Elijo x = 7

1) 6 + 2y = 3; y = - 3/2 en la primera
2) 24 + 8y = 12; y = - 3/2 en la segunda.

Saludos Herminio