Question

Calcular “n”, para que el número 22 × 6n tenga 35 divisores.

Answer 1

Hola!

Vamos a organizar mejor tu pregunta:

Calcular “n”, para que el número $2^{2}*6n$ tenga 35 divisores.

1. Tenemos que recalcar que el hecho de que tenga 35 divisores, nos da información de los factores primos del número, cuando se busca saber el numero de divisores que tiene un numero podemos seguir la siguiente regla.

N° de divisores= (exp1+1)(exp2+1)(exp3+1)....

Donde "exp" representa el exponente de la descomposición de los factores primos de dicho número.

 Veamos un ejemplo para que quede claro: Busquemos cuantos valores divisores tiene el numero 72.

      a. Tenemos que descomponer en sus factores primos llegando a que estos son: $72= 2^{3}* 3^{2}$.

      b. Los exponentes de estos son exp1=3 y exp2=2, así que aplicamos la formula antes mencionada:

           N° de divisores= (3+1)(2+1)= 4 x 3 = 12 divisores, 

      c. Efectivamente son 12 divisores y son los siguientes: 
               Div(72) = {1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72}.

2. Ya comprendido esto, vamos a buscar qué números multiplicados me den 35, en este caso tomemos la opción más idónea que es: a=7 y b=5. 

Estos dos números seran: a = exp1+1 ; y b = exp2+1. Concluyendo que los exponentes del número buscado son exp1=6 y exp2=4.

3. Ahora busquemos otro número que elevado a estos exponentes tenga las características buscadas, tenemos que recordar que el número buscado puede tener cualquier valor, hay infinitos números con esta particularidad.

Digamos que $2^{6}* 3^{4} = 5184$ este es el número, con dos y tres como base de los exponentes, entonces la expresión original es:

$2^{2}*6n=5184$

Así uno de los valores de $n$ es:

$n= \frac{5184}{2^{2}*6} = 216$

Espero haberte ayudado!