Question

se arroja una piedra en un estanque tranquilo, formandose ondas circulares concentricas que se dispersan.Si el radio de la region afectada crece a una tasa de 16 cm/s,¿a que tasa crece el area de la region afectada cuando su radio es de 4cm?

Answer 1

Hola!

Se arroja una piedra en un estanque tranquilo, formandose ondas circulares concentricas que se dispersan.Si el radio de la region afectada crece a una tasa de 16 cm/s,¿a que tasa crece el area de la region afectada cuando su radio es de 4cm?

Este es un problema de razones de cambio relaconadas.

Lo primero que haremos es definir las variables de cambio:

La primera es la variación de Radio en función del tiempo: 

 $\frac{dr}{dt} = 16m/s$

La otra es la variación del Área en función del tiempo: $\frac{dA}{dt}$.

Ahora debemos relacionar el área de un círculo con su radio:

$A= \pi r^{2}$.

Le aplicamos las derivadas anteriormente descritas.

$\frac{dA}{dt}= \frac{d}{dt}( \pi r^{2}(t))=2 \pi r(t) \frac{dr}{dt}$

Como queremos conocer la tasa de cambio en r=4cm entonces r(t)=4 cm. Sustituimos:

$\frac{dA}{dt}= 2 \pi (4cm) (16cm/s)=402.1cm ^{2}/s$.

Entonces en el instante en que el radio es de 4cm, éste tiene un cambio de 16 cm/s y el área tiene un cambio 402.1cm²/s

Espero haberte ayudado!

Answer 2

Si el radio de la región es de 4 cm entonces luego de 1 segundo el radio crecerá a 20 cm

Tenemos que el radio de la región afectada crece a una tasa de 16 cm/segundos, lo que quiere decir que cada segundo el radio aumenta 16 cm, por lo tanto si tenemos que el radio de la región es de 4 cm y queremos saber el crecimiento luego de 1 segundo, tenemos que esto será igual a:

4 cm + 16 cm/segundo*1 segundo

= 4 cm + 16 cm

= 20 cm

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