Question

7. Un elemento radioactivo tiene una vida media de 7 días y la cantidad del elemento se modela con la ecuación:

Answer 1

Definiendo :
M=Masa al tiempo t
Mi= Masa en el tiempo inicial
T= tiempo de vida media
afirmamos que la desintegración de los átomos de un elemento radioctivo está dada por una proporcional
-M<>M(t)
que como diferencial daría
-dM=kMdt                            donde k es constante de desintegración
separando términos
dM/M=-kdt
integrando  desde t=0  hasta t=t
LnM=kt+c.........................donde C constante de integración
tomando exponenciales a ambos términos
M=e^(-kt+c)=e^(-kt)*e^(c)...............................1
Cuando M=Mi...................t=ti=0
             Mi=e^(c)
por lo tanto en 1
M=Mi*e^(-kt)..................................................2
además cuando t=T (tiempo de vida media) se cumple que M=Mi/2

Mi/2=Mi*e^(-kT)
Despejando
Mi/(2*Mi)=e^(-kT)
1/2=e^(-kT)
sacando Ln a ambos términos
Ln(1/2)=-kT
-Ln2=-kT
Despejando
T=Ln2/k..........................................3    siendo T =Tiempo de vida media

reemplazando datos, empezando por la ecuación 3

7=Ln2/k...................k=7/Ln2................k=10,1
reemplazando en 2
M=Mi*e^(-10,1t)......................4

viene a ser la ecuación modelo pedida
Espero haberte ayudado, me ha costado mucho ordenar y analizar ideas para esta pregunta