Question

Un trozo de alambre de 10 metros de largo se corta en dos piezas, una de las cuales se dobla en un cuadrado y la otra en un circulo ¿ Cómo debe cortarse el alambre para que el área total sea mínima?

Answer 1

Veamos. El perímetro de las dos figuras debe medir 10 m

10 = 4 L + 2 π R; siendo L el lado del cuadrado y R el radio del círculo.

La superficie total es S = L² + π R²; 

Despejamos L del perímetro: L = 5/2 - π R/2; reemplazamos en la superficie.

S = (5/2 - π R/2)² + π R²; ha resultado una función del radio.

Derivamos, igualamos a cero y si hay mínimo la segunda derivada debe ser negativa en el punto crítico.

S ' = 2 (5/2 - π R/2) (- π/2) + 2 π R = 0

S ' = - π (5/2 - π R/2) + 2 π R = 0, implica que R = 5 π / (π^2 + 4) = 1,1325 m

La segunda derivada vale (π² + 4) / 2 positiva, implica mínimo

Superficie mínima = 1,80 m²

Perímetro del círculo: 2 π R = 2 π . 1,1325 = 7,16 m

Perímetro del cuadrado: 10 - 7,16 = 2,84 m

Lado del cuadrado L = 2,84 / 4 = 0,71 m

Finalmente debes cortar un trozo de 7,16 m para el círculo y el resto para el cuadrado.

Saludos Herminio