Question

determinar la ecuacion de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 - 2x + 3y - 18 = 0 si dich recta contiene el punto (5,5)

Answer 1

Hay dos rectas tangentes a la circunferencia que pasa por le punto (5 , 5)

Es de la forma: y - y1 = m (x - x1); para el punto (5, 5):
 
y - 5 = m (x - 5); y = m x - 5 m + 5

El procedimiento es el siguiente: se halla la intersección de la recta con la circunferencia y se impone a la ecuación de segundo grado que resulta la condición que tenga una única solución (condición de tangente); de acá surge una ecuación de segundo grado en m, de donde resultan las dos pendientes de las tangentes.
 
x^2 + (m x - 5 m + 5)^2 - 2 x + 3 (m x - 5 m + 5) - 18 = 0; quitamos paréntesis y reordenamos como un polinomio en x:

x^2 (1 + m^2) + x (-10 m^2 + 13 m - 2) + 25 m^2 - 65 m + 22 = 0

Imponemos a esta ecuación que tenga solución (en x) única (discrimiante = 0) y resulta una ecuación de segundo grado e m:

(-10 m^2 + 13 m - 2)^2 - 4 (1 + m^2) (25 m^2 - 65 m + 22) = 0

Quitando paréntesis nos queda:

21 m^2 + 208 m - 84 = 0, cuyas soluciones son:

m = 0,389; m = - 10,3

Las ecuaciones de las rectas tangentes son:

y - 5 = 0,389 (x - 5)
y - 5 = - 10,3 (x - 5)

Te adjunto un archivo con las gráficas.

Saludos Herminio

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