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Respuesta dada por:
1
Sabiendo que la serie converge, hay que tener en cuenta otro resultado.
La serie
∞
P₂= ∑ 1/2ˣ, converge a 2.
n=0
Pues al expander la serie:
∞
∑ 1/2ˣ = 1+1/2 + 1/2² + 1/2³ + .... = P₂
n=0
Si Factorizamos (1/2):
P₂ = 1+ 1/2( 1+1/2 + 1/2² + 1/2³ + ....)
Luego notamos que los términos dentro del paréntesis son equivalentes a P₂
P₂ = 1+ 1/2(P₂)
Despejando P₂:
P₂ = 2
Ahora resolvamos la serie
∞
P= ∑ (x/2ˣ)
n=1
Expandiendo:
∞
∑ (x/2ˣ) = 1/2 + 2/2² + 3/2³ + 4/2⁴ + ...
n=1
Si factorizamos (1/2) y separamos las fracciones convenientemente:
P= 1/2 (1+ 2/2 + 3/2² + 4/2³ +...)
= 1/2 (1+ (1/2 + 1/2) + (2/2² +1/2²) + (3/2³ + 1/2³) +...)
Notamos que aparece la serie que ya habíamos resuelto antes (P₂) y además que está la serie P:
P = 1/2 ((1+ 1/2 + 1/2² + 1/2³+ .. )+ (1/2 + 2/2² + 3/2³ +...))
P = 1/2 (P₂ + P)
P= 1/2 (2 + P)
Despejando P:
P= 1+ P/2
P = 2
Luego:
∞
∑ (x/2ˣ) = 2
n=1
La serie
∞
P₂= ∑ 1/2ˣ, converge a 2.
n=0
Pues al expander la serie:
∞
∑ 1/2ˣ = 1+1/2 + 1/2² + 1/2³ + .... = P₂
n=0
Si Factorizamos (1/2):
P₂ = 1+ 1/2( 1+1/2 + 1/2² + 1/2³ + ....)
Luego notamos que los términos dentro del paréntesis son equivalentes a P₂
P₂ = 1+ 1/2(P₂)
Despejando P₂:
P₂ = 2
Ahora resolvamos la serie
∞
P= ∑ (x/2ˣ)
n=1
Expandiendo:
∞
∑ (x/2ˣ) = 1/2 + 2/2² + 3/2³ + 4/2⁴ + ...
n=1
Si factorizamos (1/2) y separamos las fracciones convenientemente:
P= 1/2 (1+ 2/2 + 3/2² + 4/2³ +...)
= 1/2 (1+ (1/2 + 1/2) + (2/2² +1/2²) + (3/2³ + 1/2³) +...)
Notamos que aparece la serie que ya habíamos resuelto antes (P₂) y además que está la serie P:
P = 1/2 ((1+ 1/2 + 1/2² + 1/2³+ .. )+ (1/2 + 2/2² + 3/2³ +...))
P = 1/2 (P₂ + P)
P= 1/2 (2 + P)
Despejando P:
P= 1+ P/2
P = 2
Luego:
∞
∑ (x/2ˣ) = 2
n=1
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