Question

Teniendo en cuenta el contexto dado suponga que el precio de venta de cada artículo (de tipo continuo) es de $102000 y que al total de cada compra que hace un cliente se cargan $2500 adicionales, que serán destinados para impuestos. Con base en esta información plantear una expresión matemática que muestre una relación, que sea función, entre:  El número de artículos y el valor a cancelar por la compra de éstos bajo las condiciones dadas (esta relación corresponde a los ingresos de la empresa).  El ingreso promedio de la empresa (Cociente de dividir los ingresos de la empresa entre las cantidades vendidas).
2. Con las dos funciones obtenidas realice: a. una gráfica que represente las dos relaciones. Para ello, utilice un software matemático (que no sea Excel puesto que no es un software matemático). Se recomienda usar Geogebra, Graph calc, Wolfram mathematica o cualquiera que encuentre apropiado. b. A partir de la representación gráfica y algebraica de las dos funciones obtenidas responda:
 ¿Cuál es el dominio y rango de cada una?
 ¿Qué representa el dominio y rango en cada una, teniendo en cuenta el contexto dado?
c. Observe las gráficas y luego escriba una inferencia respecto a:
 ¿A qué valor tienden los ingresos cuando la producción no se detiene, suponiendo que todas las cantidades se venden?
 ¿A qué valor tienden los ingresos promedio cuando la producción no se detiene, suponiendo que todas las cantidades se venden?
 Con base en las anteriores respuestas, ¿en cuál de los casos los ingresos tienden a estabilizarse? Y ¿en cuáles no son estables? Explique completamente su respuesta.
d. A través del concepto de límite y su notación algebraica, responda:
 ¿A qué valor tienden los ingresos cuando la producción no se detiene, suponiendo que todas las cantidades se venden?
 ¿A qué valor tienden los ingresos promedio cuando la producción no se detiene, suponiendo que todas las cantidades se venden?
 ¿A qué valor tienden los ingresos y los ingresos promedio cuando la empresa tiende a no producir?
3. Calcule la primera derivada de la función ingreso promedio y realice su gráfica y a partir de ellas responda:
a. ¿La función ingreso promedio tiene un valor máximo o mínimo? Justifique su respuesta.
b. ¿La primera derivada de la función de ingreso promedio permite asegurar que el ingreso promedio tiende a estabilizarse? Justifique su respuesta.

Answer 1

DATOS:

- Se conoce que el precio de venta por artículo es: 102000$

- Adicional a cada compra se cargan: 2500$

Empleando teoría de función lineal que sigue la forma:

f (x) = mx + b, representaremos los valores de precio de venta por artículo (m), x que sería la variable de cantidad de artículo y b una constante que será el precio adicional que se carga por compra para el pago de impuestos, indiferentemente de la cantidad de artículos.

Expresando en la ecuación lineal se tiene que:

f (x) = 102000x + 2500 , por lo cual está será la ecuación que representará la compra de los artículos en función de su cantidad adquirida.

Ahora bien la ecuación correspondiente para el ingreso promedio, el cual es el cociente de los ingresos entre las unidades vendidas:

$g(x)= \frac{102000x+2500}{x}$