Question

de un rectangulo PQRS se ha recortado un rombo ABCD de diagonales AC=8 y BD =6
Hallar el minimo valor posible del area del rectangulo PQRS

Answer 1

El problema se reduce en minimizar la suma de áreas de dos triángulos adyacentes formados por el rombo y el rectángulo, dicho sea de paso que tales rectángulos tienen la misma hipotenusa cuya medida es 5.

Pongamos la medida de un ángulo de un susodicho triángulo igual a $\phi$ y que sea separado por un ángulo igual a $53\° + 53\°=106\°$ por ende el ángulo del otro triángulo sería $74\°-\phi$. El área del primer triángulo es $A_1=\dfrac{5\sin\phi~\cos\phi}{2}=\dfrac{5}{4}\sin 2\phi$ y del otro triángulo es $A_2=\dfrac{5\sin(74\°-\phi)~\cos(74\°-\phi)}{2}=\dfrac{5}{4}\sin(148\°-2\phi)=\dfrac{5}{4}\sin(2\phi-32\°)$
 
Entonces lo que tenemos que minimizar es

$S(\phi)=A_1+A_2=\dfrac{5}{4}\left[\sin 2\phi+\sin(2\phi-32\°)\right]\\ \\ \\ S(\phi)=\dfrac{5}{2}\sin(2\phi-16\°)\cos 16\°\\ \\ \\ S(\phi)=\dfrac{5}{2}\sin(2\phi-16\°)\cdot\dfrac{24}{25}$

$S(\phi)=\dfrac{12}{5}\sin(2\phi-16\°)~,~16\°\leq \phi\leq 90\°\\ \\ \\ \texttt{Probemos en los extremos del intervalo:}\\ \\ S(16\°)=\dfrac{12}{5}\sin16\°=\dfrac{12}{5}\cdot \dfrac{7}{25}=\dfrac{84}{125}\\ \\ \\ S(90\°)=\dfrac{12}{5}\sin(180\°-16)=\dfrac{84}{125}\\ \\ \\ \texttt{Entonces el \'area m\'inima del rect\'angulo es: }\\ \\ \\ A=24+2\times \dfrac{84}{125}\\ \\ \\ \boxed{A= 25.344}$