En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.
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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Bueno, primero, inscrito significa que el cuadrado se encuentra completamente dentro de la circunferencia. Si haces la figura te darás cuenta que los vértices del cuadrado tocan la circunferencia por tal desde el centro de la circunferencia a una de esas esquinas puedes asegurar que hay 4m puesto que estaríamos describiendo el radio de la circunferencia. De manera que del centro de la circunferencia a una arista del cuadrado hay 4m entonces una diagonal del cuadrado es igual a 8m. Como los ángulos que forman las aristas del cuadrado tienen 90 grados entonces con la diagonal forman un triángulo rectángulo. Si usas pitágoras te darás cuenta que entonces un lado de dicho cuadrado mide L=4*raiz(2)m. Con este dato es fácil hallar el área del cuadrado el cual es A=L*L=32m^2. Luego la figura final también posee triángulos equiláteros sobre el cuadrado lo que te quiere decir que cada lado del triángulo mide L=4*raiz(2)m. Lo que haré a continuación no se acostumbra a enseñar pero es un truco diferente para hallar el área de ese triángulo sin recurrir a la trigonometría. Se llama la fórmula de Herón y la puedes buscar si gustas. Lo que haremos es definir un semiperimetro así:
s=(a+b+c)/2 donde a,b,c son los lados de tu triángulo y como todos son iguales entonces s=6*raiz(2). Luego usas esta fórmula
A = raiz(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))
A = raiz(6*raiz(2)*(6*raiz(2)-4*raiz(2))^3)
A = 8*raiz(3)
Y listo has encontrado el área de uno de los triángulos, pero como son 4 por ser 4 lados entonces ese resultado lo multiplicas por 4 al final.
A total = 32+4*8*raiz(3)
A total = 32+32*raiz(3)
A total = 87.43 m^2
El área de tu estrella es 87.43m^2
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