Question

Se quiere hacer una caja sin tapa cortando cuadros congruentes de las esquinas de una hoja de lámina de 12x12 cm y doblando sus lados. ¿De qué tamaño deben ser los cuadrados que se corten en las esquinas para que la caja tenga un volumen máximo? debo contestarlo con algún método de ecuaciones cuadráticas.

Answer 1

La ecuación que define el volumen es un polinomio de tercer grado. 

Sea x la longitud que se corta en cada una de las esquinas. Doblamos el resto de cada lado y nos queda una caja abierta por arriba

Su volumen es V = x (12 - 2 x)²; quitamos el paréntesis:

V = 4 x³ - 48 x² + 144 x (de tercer grado)

Una función es máxima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es negativa.

Derivamos V' = 12 x² - 96 x + 144 = 0

Ecuación de segundo grado en x; sus raíces son x = 2, x = 6

Descartamos x = 6 porque no existiría la caja (12 - 2 . 6 = 0)

Los cuatro cuadrados son de 2 . 2 = 4 cm²

Segunda derivada: V'' = 24 x + 96; en x = 2, V'' = - 48 negativa, máximo

El máximo volumen es V = 2 (12 - 2 . 2)² = 128 cm³

Se adjunta gráfico de la función volumen destacando el punto (2, 128)

Saludos Herminio