Question

1.-¿Es el menor de dos números cuya suma es 20 y su productos es 99?
2.-¿Número cuya diferencia entre su cuadrado y su quíntuplo es 104?
3.-¿La base de un rectángulo es dos metros mayor que la altura. Si a la base se le aumenta un metro y ala altura dos metros, resulta otro rectángulo de área 24 metros cuadrados mas que el área del primero. El semiperimetro del rectángulo es:?

Answer 1

Hola!

Para hallar las respuestas a estas interrogantes diremos lo siguiente:

  1. El menor de dos número cuya suma es 20 y cuyo producto es 99:

Decimos que:
X + Y = 20
X.Y = 99

Despejamos X en la primera ecuación y sustituimos ese valor en la segunda. Luego utilizaremos la función cudrática para hallar los dos valores de X.

X = 20 - Y

(20 - Y)Y = 99  →  20Y - Y² = 99  →  -Y² + 20Y - 99


$Y = \frac{-b +-\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
$Y = \frac{-20 +-\sqrt{20^{2} - 4(-1)(-99)}}{2(-1)}$
$Y = \frac{-20 +-\sqrt{400 - 396}}{-2}$
$Y = \frac{-20 +- 4}{-2}$
Y = 9     ó     Y = 11

Si luego sustituimos estos dos valores en la primera ecuación despejada, obtendremos dos valores de X que serían X = 11  ó  X = 9, respectivamente.

Es decir que, el menor de dos número cuya suma es 20 y cuyo producto es 99 es 9.

  2. Número cuya diferencia entre su cuadrado y su quíntuplo es 104:

Es decir que: X² - 5X = 104    →    X² - 5X - 104

En este caso también utilizaremos la ecuación cuadrática para hallar el valor de X

$X = \frac{-(-5) +-\sqrt{(-5)^{2} - 4(1)(-104)}}{2(1)}$
$X = \frac{5 +-\sqrt{(25 + 416}}{2}$
$X = \frac{5 +-21}{2}$
X = - 8     ó     X = 13

  3. Semiperímetro del rectángulo:
En este caso diremos que la altura H del rectángulo es X metros y su base B es X + 2 metros. Por lo tanto su área es A = B x H  
A = (X + 2).X
A = X² + 2X

Si a la base se le aumenta un metro y a la altura, dos metros, resulta otro rectángulo de área 24 m² más que el área del primero, es decir que:

Si B = X + 2 + 1 metros    →   B = X + 3 metros
Y si H = X + 2 metros
Entonces.... A + 24 m² = (X + 3)(X +2)

Ahora, sustituimos en esta última expresión el valor del área A del rectángulo original y hallamos el valor de X:

A + 24 m² = (X + 3)(X +2)
(X² + 2X) + 24 = (X + 3)(X +2)
X² + 2X + 24 = X² + 3X + 2X + 6
X² + 2X - X² - 3X - 2X = 6 - 24
- 3X = - 18
X = 6

X = 6 representa la altura H del rectángulo y si su es base B = X + 2 metros, su base es B = (6) + 2 = 8

Por lo tanto, el semiperímetro del rectángulo es igual a SP = 6 + 8 = 14

Saludos!