Al calentar un resorte, su “constante” decrece.? Editar Suponga que el resorte se calienta de modo que la “constante” en el instante t es k(t)=6-t N/m (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa m=2kg y una constante de amortiguamiento b=1Ns/m con condiciones iniciales x(0)=3m y x´(0)=0, entonces el desplazamiento x(t) queda descrito mediante el problema de valores iniciales 2x´´(t) x´(t) (6-t)x(t)=0 x(0)=3 x´(0)=0 Determine los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en series de potencias en torno de t=0 para el desplazamiento. .
Respuestas
Respuesta dada por:
3
Se adjunta la imagen correspondiente a la situación. Sea:
2x'' + 0 (6 - 0) × 3 = 0
2x'' + 18 = 0
Se obtiene: x'' (0) = -9
2x''' + x'' + (-1) × (x) + (6 - t) × (x') = 0
2x''' + x'' - x + (6 - t)x' = 0
2x''' - 9 - 3 + (6 - 0) × (0) = 0
2x''' - 12 = 0
Se obtiene que: x''' = 6
2x⁴ - 48 = 0
Se obtiene que:x⁴ (0) = 24
Se debe emplear la serie de Taylor, para aproximar un polinomio de 4 términos (el cual se puede visualizar en la segunda imagen)
Para los 4 primeros términos se obtiene:
x (t): Posición del resorte
x' (t): Velocidad del resorte
x'' (t): Aceleración del resorte
La situación plantea la siguiente ecuación:
mx'' + bx' + kx = 0
2x'' + x' + (6 - t)x = 0
Reemplazando los valores iníciales en la ecuación diferencial:
2x'' + 0 (6 - 0) × 3 = 0
2x'' + 18 = 0
Se obtiene: x'' (0) = -9
Derivando respecto a t la ecuación diferencial:
2x''' + x'' + (-1) × (x) + (6 - t) × (x') = 0
2x''' + x'' - x + (6 - t)x' = 0
Reemplazando los valores iníciales en la expresión anterior:
2x''' - 9 - 3 + (6 - 0) × (0) = 0
2x''' - 12 = 0
Se obtiene que: x''' = 6
Derivando nuevamente respecto a t: 2x⁴ + x³ + (6 - t)x² = 0
Reemplazando las
condiciones iníciales en la expresión anterior:
2x⁴ + 6 + (6 - 0) × -9 = 0
2x⁴ - 48 = 0
Se obtiene que:x⁴ (0) = 24
Se debe emplear la serie de Taylor, para aproximar un polinomio de 4 términos (el cual se puede visualizar en la segunda imagen)
Para los 4 primeros términos se obtiene:
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