Question

encuentre las dimensiones de un cilindro recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio de 10 cm ¿ cual es el volumen máximo?

Answer 1

Veamos Sea r el radio del cilindro y h su altura. Llamemos R al radio de la esfera.

El volumen del cilindro es V = π.r².h

Por otro lado hay un triángulo rectángulo de hipotenusa R, un cateto es r y el otro es h/2. Por lo tanto R² = r² + (h/2)²; despejamos r² y lo reemplazamos en V:

V = π (R² - h²/4) . h = π(R² h - h³/4)

Nos ha quedado el volumen como una función de h. 

Una condición de máximo valor es la primera derivada nula y la segunda negativa.
Derivamos por lo tanto V respecto de H:

V' = π(R² - 3/4 h²) = 0 para volumen máximo.

Derivamos nuevamente: V'' = - 3/2 π h (negativo, condición de máximo)

Resolvemos V' = 0 para h; resulta h = R √(4/3)

Para R = 10 cm resulta: h = 11,55 cm aproximadamente

Reemplazamos en la expresión del volumen

V = π (10² . 11,55 - 11,55³ / 4) = 2418 cm³  

Te adjunto un gráfico con la representación del volumen en función de la altura y sus valores críticos.

Saludos Herminio

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