Se construirá una caja, abierta por la parte superior, de una lámina cuadrada de cartón, cortando un cuadrado de cada esquina. Si la plancha de cartón mide 30 centímetros por lado, ¿cuáles son las dimensiones de la caja para obtener el máximo volumen?
Respuestas
Respuesta dada por:
28
1) Diagrama de la lamina original
30 cm
___________
| |
| | 30 cm
| |
|__________|
30 cm
1) diagrama del corte de
30 - 2x
______
_| |_
| |
| | 30 - 2x
|_ _|
|_______|
30 - 2x
3) Volumen de la caja
V = área de la base * altura
V = (30 - 2x)^2 * x
V = (900 - 120x + 4x^2)x
V = 900x - 120x^2 + 4x^3
Máximo volumen => dV/dx = 0
=> 900 - 240x + 12x^2 = 0
Dividiendo entre 12:
x^2 - 20x + 75 = 0
Factoriza:
(x - 15)(x - 5)=0
=> x = 15, x = 5
4) Verifica el volumen para esos dos valores:
V = (30 - 2*15)^2 * 15 = 0 => es un mínimo no un máximo
V = (30 - 2*5)^2 * 5 = 400*5 = 2000 cm^3 => es el máximo
Respuesta: Las dimensiones de la caja son: base cuadrada de 20 cm de longitud y altura de 5 cm.
30 cm
___________
| |
| | 30 cm
| |
|__________|
30 cm
1) diagrama del corte de
30 - 2x
______
_| |_
| |
| | 30 - 2x
|_ _|
|_______|
30 - 2x
3) Volumen de la caja
V = área de la base * altura
V = (30 - 2x)^2 * x
V = (900 - 120x + 4x^2)x
V = 900x - 120x^2 + 4x^3
Máximo volumen => dV/dx = 0
=> 900 - 240x + 12x^2 = 0
Dividiendo entre 12:
x^2 - 20x + 75 = 0
Factoriza:
(x - 15)(x - 5)=0
=> x = 15, x = 5
4) Verifica el volumen para esos dos valores:
V = (30 - 2*15)^2 * 15 = 0 => es un mínimo no un máximo
V = (30 - 2*5)^2 * 5 = 400*5 = 2000 cm^3 => es el máximo
Respuesta: Las dimensiones de la caja son: base cuadrada de 20 cm de longitud y altura de 5 cm.
Preguntas similares
hace 6 años
hace 6 años
hace 9 años
hace 9 años