Question

Se construirá una caja, abierta por la parte superior, de una lámina cuadrada de cartón, cortando un cuadrado de cada esquina. Si la plancha de cartón mide 30 centímetros por lado, ¿cuáles son las dimensiones de la caja para obtener el máximo volumen?

Answer 1

1) Diagrama de la lamina original

      30 cm
___________
|                      |
|                      | 30 cm
|                      |      
|__________|
     30 cm

1) diagrama del corte de

      30 - 2x
     ______
  _|             |_
 |                  |
 |                  |  30 - 2x
 |_              _|
   |_______|
     30 - 2x

3) Volumen de la caja

V = área de la base * altura

V = (30 - 2x)^2 * x

V = (900 - 120x + 4x^2)x

V = 900x - 120x^2 + 4x^3

Máximo volumen => dV/dx = 0

=> 900 - 240x + 12x^2 = 0

Dividiendo entre 12:

x^2 - 20x + 75 = 0

Factoriza:

(x - 15)(x - 5)=0

=> x = 15, x = 5

4) Verifica el volumen para esos dos valores:

V = (30 - 2*15)^2 * 15 = 0 => es un mínimo no un máximo

V = (30 - 2*5)^2 * 5 = 400*5 = 2000 cm^3 => es el máximo

Respuesta: Las dimensiones de la caja son: base cuadrada de 20 cm de longitud y altura de 5 cm.