Question

sucesiones y series.

Encontrar los 5 primeros términos, el termino general y el termino 20 de las siguientes sucesiones geométricas.

a) 8,4,2,1...
b) A1=300 R=-10

Answer 1

La fórmula para hallar el término general de cualquier progresión geométrica (PG) es:   $a_n=a_1* r^{n-1}$

También sabrás que para conocer la razón "r" de cualquier PG, se efectúa el cociente entre el valor de un término cualquiera y el anterior.

Para el primer caso...

a) 
4 : 8 = 1/2 = r ................ Ya sé la razón de esa PG. 

Para saber sus primeros 5 términos simplemente se va multiplicando cada término por la razón. En este caso ya tenemos los 4 primeros y el 5º se calcula multiplicando el 4º por la razón ... 1×1/2 = 1/2

El término general de esa PG se construye sustituyendo el valor de a₁ y de la razón "r", y es este:   $a_n=8* ( \frac{1}{2} )^{n-1}$

... pero esto se puede desarrollar y simplificar...
$a_n=2^3* [2^{-1}]^{n-1} \\ \\ a_n=2^3* 2^{1-n} \\ \\ a_n= 2^{4-n}$

Saber el término que ocupa el lugar nº 20 es tan simple como sustituir ese valor donde está "n" ... $a_{20} = 2^{4-20}= 2^{-16}$

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El segundo caso...

b)
Los 5 primeros términos de esa PG serán:

a₁ = 300
a₂ = 300 × (-10) = -3000
a₃ = -3000 × (-10) = 30000
a₄ = 30000 × (-10) = -300000
a₅ = -300000 × (-10) = 3000000

El término general...  $a_n=300* (-10)^{n-1}$

El 20º término será... $a_n=300* (-10)^{20-1}=300* (-10)^{19} =-3* 10^{21}$

Saludos.