Question

Las funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por S(x)=52+2x Y D(x)=100-x^2 Determine el excedente del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado.

Answer 1

Hola 

Primero hallamos el Punto de Equilibrio:
s(x)=52+2x

D(x)=100-x^2

52+2x=100-x^2

x^2+2x-48=0

se utiliza la formula para resolver ecuaciones cuadraticas

nos da dos resultados 

x=6 y x=.-8

se utiliza x=6 el cual sera Q

remplazando x en 100-x^2

se obtiene 100-(6)^2=64 

el 64 sera nuestra P

bien. 
Ahora procedemos a hallar el exedente del consumidor

la formula es:

$EC= \int\limits^Q_0 {D(x)} \, dx -QP$

$EC= \int\limits^6_0 {100-x^2} \, dx -(6)(64)$

$EC=[100x-1/3x^3]^6_0-384$

$EC=[600-72]-384$

$EC=144$


Ahora el exedente del productor

la Formula es:

$EP=QP- \int\limits^Q_0 {S(x)} \, dx$

$EP=(6)(64)- \int\limits^6_0 {52+2x} \, dx$

$EP=384- [52x+x^2]^6_0$

$EP=384- 348$

$EP=36$

Answer 2

El punto de equilibrio de las ventas se obtiene cuando se venden 6 unidades

El punto de equilibrio de las dos curvas se obtiene igualando las dos curvas, es decir, se obtiene cuando la oferta y la demanda son iguales

S(x) = D(x)

52 + 2x = 100 - x²

x² + 2x + 52 - 100 = 0

x² + 2x - 48 = 0

(x + 8)(x - 6) = 0

Luego tenemos que x es una cantidad de ventas entonces por el dominio tenemos que el valor de "x" debe ser positivo, por lo tanto, debido a las dos cantidades que cumplen con la ecuación debe ocurrir que x = 6

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