ayudenme porfa con esto
la derivada enesima de:
y= (a-bx)^k k pertenece a z+ (enteros positivos)
mi profe me explico antes un ejercicio asi:
y= (ax+b)^n
y'= n(ax+b)^n-1 * a
y''= n(n-1)(ax+b)^n-2 * a^2
y'''= n(n-1)(n-2)(ax+b)^n-3 * a^3
la derivada era: y^n= a^n * n! (n factorial)
Respuestas
Respuesta dada por:
4
Tambien conocidas como Derivadas de orden superior
Donde "a" y "b" son constantes. Y "x" una incognita.
![y=(a-bx)^k y=(a-bx)^k](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%28a-bx%29%5Ek)
![y'=(k)(a-bx)^{k-1}(-b)
y'=(k)(a-bx)^{k-1}(-b)](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%28k%29%28a-bx%29%5E%7Bk-1%7D%28-b%29%0A)
![y''=(k)(k-1)(a-bx)^{k-2}(-b)^{2} y''=(k)(k-1)(a-bx)^{k-2}(-b)^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%3D%28k%29%28k-1%29%28a-bx%29%5E%7Bk-2%7D%28-b%29%5E%7B2%7D)
![y'''=(k)(k-1)(k-2)(a-bx)^{k-3}(-b)^{3} y'''=(k)(k-1)(k-2)(a-bx)^{k-3}(-b)^{3}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%27%3D%28k%29%28k-1%29%28k-2%29%28a-bx%29%5E%7Bk-3%7D%28-b%29%5E%7B3%7D)
Fórmula de la n-ésima derivada es:
![y^{n} =[(k)P(n)](a-bx)^{k-n}(-b)^{n} y^{n} =[(k)P(n)](a-bx)^{k-n}(-b)^{n}](https://tex.z-dn.net/?f=y%5E%7Bn%7D+%3D%5B%28k%29P%28n%29%5D%28a-bx%29%5E%7Bk-n%7D%28-b%29%5E%7Bn%7D)
Donde P=permutación
Pongamosle valores (algo fáciles):
![y=(7-2x)^8 y=(7-2x)^8](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%287-2x%29%5E8)
![y'=8(7-2x)^{8-1}*-2=-16(7-2x)^7 y'=8(7-2x)^{8-1}*-2=-16(7-2x)^7](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D8%287-2x%29%5E%7B8-1%7D%2A-2%3D-16%287-2x%29%5E7)
![y''=8(7)(7-2x)^{7-1}*-2(-2)=224(7-2x)^6 y''=8(7)(7-2x)^{7-1}*-2(-2)=224(7-2x)^6](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%3D8%287%29%287-2x%29%5E%7B7-1%7D%2A-2%28-2%29%3D224%287-2x%29%5E6)
Ahora sustituyamos en la fórmula:
![y^{n} =[(k)P(n)](a-bx)^{k-n}(-b)^{n} y^{n} =[(k)P(n)](a-bx)^{k-n}(-b)^{n}](https://tex.z-dn.net/?f=y%5E%7Bn%7D+%3D%5B%28k%29P%28n%29%5D%28a-bx%29%5E%7Bk-n%7D%28-b%29%5E%7Bn%7D)
cuando
n=2 (2da. derivada)
k=8 (exponente)
a=7 (la constante)
bx=2x
b=-2 (la derivada de -2x)
![y^{2} =[(8)P(2)](7-2x)^{8-2}(-2)^{2}=224(7-2x)^{6} y^{2} =[(8)P(2)](7-2x)^{8-2}(-2)^{2}=224(7-2x)^{6}](https://tex.z-dn.net/?f=y%5E%7B2%7D+%3D%5B%288%29P%282%29%5D%287-2x%29%5E%7B8-2%7D%28-2%29%5E%7B2%7D%3D224%287-2x%29%5E%7B6%7D)
Y si comparamos respuestas, nos dará lo mismo que la hagamos a "pie" (una por una) a que la metamos a la fórmula. Este resultado está verificado por las matemáticas un lic. en matemáticas y por mi. Cualquier duda o pregunta no dudes dejarlo en lo comentarios.
Donde "a" y "b" son constantes. Y "x" una incognita.
Fórmula de la n-ésima derivada es:
Donde P=permutación
Pongamosle valores (algo fáciles):
Ahora sustituyamos en la fórmula:
cuando
n=2 (2da. derivada)
k=8 (exponente)
a=7 (la constante)
bx=2x
b=-2 (la derivada de -2x)
Y si comparamos respuestas, nos dará lo mismo que la hagamos a "pie" (una por una) a que la metamos a la fórmula. Este resultado está verificado por las matemáticas un lic. en matemáticas y por mi. Cualquier duda o pregunta no dudes dejarlo en lo comentarios.
kira1113:
tengo una pregunta tengo que descibir como sacar cada derivada pero en la derivada de y'''? es (a-bx)^k-2?
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