Question

ayudenme porfa con esto
la derivada enesima de:
y= (a-bx)^k k pertenece a z+ (enteros positivos)

mi profe me explico antes un ejercicio asi:
y= (ax+b)^n
y'= n(ax+b)^n-1 * a
y''= n(n-1)(ax+b)^n-2 * a^2
y'''= n(n-1)(n-2)(ax+b)^n-3 * a^3
la derivada era: y^n= a^n * n! (n factorial)

Answer 1

Tambien conocidas como Derivadas de orden superior
Donde "a" y "b" son constantes. Y "x" una incognita.
$y=(a-bx)^k$
$y'=(k)(a-bx)^{k-1}(-b)$
$y''=(k)(k-1)(a-bx)^{k-2}(-b)^{2}$
$y'''=(k)(k-1)(k-2)(a-bx)^{k-3}(-b)^{3}$
Fórmula de la n-ésima derivada es:
$y^{n} =[(k)P(n)](a-bx)^{k-n}(-b)^{n}$
Donde P=permutación

Pongamosle valores (algo fáciles):
$y=(7-2x)^8$
$y'=8(7-2x)^{8-1}*-2=-16(7-2x)^7$
$y''=8(7)(7-2x)^{7-1}*-2(-2)=224(7-2x)^6$

Ahora sustituyamos en la fórmula:
$y^{n} =[(k)P(n)](a-bx)^{k-n}(-b)^{n}$
cuando
n=2 (2da. derivada)
k=8 (exponente)
a=7 (la constante)
bx=2x 
b=-2 (la derivada de -2x)
$y^{2} =[(8)P(2)](7-2x)^{8-2}(-2)^{2}=224(7-2x)^{6}$
Y si comparamos respuestas, nos dará lo mismo que la hagamos a "pie" (una por una) a que la metamos a la fórmula. Este resultado está verificado por las matemáticas un lic. en matemáticas y por mi. Cualquier duda o pregunta no dudes dejarlo en lo comentarios.