Question

Calcular el siguiente límite:

Lim (Sen x + sen y)/(x+y)
x,y→(0,0)

Answer 1

Lim (Sin x + Sin y)/(x+y)
x,y→(0,0)

Para resolver este límite usaremos una identidad trigonométrica:

Sea:
Sinx + Siny = Sin (x/2 + x/2) + Sin (y/2+y/2)
= 2 Sin(x/2) Cos(x/2) + 2 Sin(y/2) Cos(y/2)
=2(Sin(x/2) Cos(x/2) + Sin(y/2) Cos(y/2))

Multiplicando por 1: (Sin²x+Cos²x)  y (Sin²y+Cos²y) convenientemente:
2(Sin(x/2) Cos(x/2) + Sin(y/2) Cos(y/2))

= 2(Sin(x/2) Cos(x/2) (Sin²(x/2)+Cos²(x/2)) + Sin(y/2) Cos(y/2) (Sin²(y/2)+Cos²(y/2)))

= 2 (Sin(x/2) Cos(x/2) Sin²(y/2)+Sin(x/2)Cos(x/2) Cos²(y/2) + Sin(y/2) Cos(y/2) Sin²(x/2)+ Sin(y/2) Cos(y/2) Cos²(x/2))


= 2 (Sin(x/2) Cos(x/2) Sin²(y/2)+ Sin(y/2) Cos(y/2) Sin²(x/2) + Sin(y/2) Cos(y/2) Cos²(x/2) +Sin(x/2)Cos(x/2) Cos²(y/2) )

Factorizando:

= 2[Sin(x/2)Sin(y/2) (Sin(y/2) Cos(x/2) + Sin(x/2) Cos(y/2))
+ Cos(x/2) Cos(y/2)(Sin(y/2) Cos(x/2) + Sin(x/2) Cos(y/2))]

= 2[(Sin(x/2)Sin(y/2)+Cos(x/2)Cos(y/2))(Sin(y/2)Cos(x/2)+Sin(x/2)Cos(y/2))]

= 2[Cos(x/2 - y/2) Sin(x/2 + y/2)] 

Resolvamos el límite:

Lim (Sin x + Sin y)/(x+y)
x,y→(0,0)

= Lim 2[Cos(x/2 - y/2) Sin(x/2 + y/2)]/(x+y)
   x,y→(0,0)

Multiplicando por 1: [(1/2)/(1/2)]

= Lim [Cos(x/2 - y/2) Sin(x/2 + y/2)]/(x/2+y/2)
   x,y→(0,0)

Recordemos que:

Lim  (Sin a)/a =1
x→0

Luego puesto que:
Lim         x+y =1
x,y→(0,0)

Entonces:
El límite
Lim [Sin(x/2 + y/2)]/(x/2+y/2)
 x,y→(0,0)
Existe y es 1.

Como el límite 
Lim   Cos(x/2 - y/2)
 x,y→(0,0)
Existe y es 1.

Entonces podemos realizar el producto de los límites:

Lim [Cos(x/2 - y/2) Sin(x/2 + y/2)]/(x/2+y/2)
x,y→(0,0)

= Lim [Cos(x/2 - y/2) * Lim  Sin(x/2 + y/2)]/(x/2+y/2)
 x,y→(0,0)                   x,y→(0,0)  

= 1*1 = 1

Luego:
Lim (Sin x + Sin y)/(x+y)   = 1
x,y→(0,0)