Question

Dos objetos de forma circular, se encuentran en una mesa horizontal sin fricción, colisionan de tal manera que el objeto que tiene una masa de 3,90 "kg" (m_1), es lanzado con rapidez 2,10"m/s (v)" hacia el segundo objeto, de 4,80 "kg" (m_2) de masa, inicialmente está en reposo. Después del choque, ambos objetos adquieren velocidades que están dirigidas a 27,1°( θ°) en sentidos opuestos, a cada lado de la línea original de movimiento del primer objeto (como se muestra en la figura).

(a) ¿Cuáles son los valores de las rapideces finales de los dos objetos? ( v_f1 y v_f2 ).

(b) ¿Presente el cálculo en el que se evidencie, si la cantidad total de energía cinética se conserva o no? (c) ¿Es la colisión elástica o inelástica?

Answer 1

a) En las colisiones hay una cantidad vectorial que se conserva y que se ha decidido llamar ''cantidad de movimiento lineal''.

Entonces, la cantidad de movimiento antes del choque es la misma cantidad de movimiento luego del mismo:

$p_{o}=p_{f}$

Donde p es la cantidad de movimiento, el sub índice 'sub f' indica final y el 'sub cero' inicial. Como hablamos de vectores, esta conservación pasa tanto en el eje x como en el eje y.

Planteamos la ecuación en el eje horizontal x:

$m_{1}v_{01x}+m_{2}v_{02x}=m_{1}v_{f1x}+m_{2}v_{f2x}$

Donde el subíndice x indica el eje, y los números 1 y 2 indican las masas respectivas. Como la masa 2 está inicialmente en reposo el segundo término del lado izquierdo de esta igualdad es cero, luego:

$m_{1}v_{01x}= m_{1}v_{f1x}+m_{2}v_{f2x}$

Reemplazando la componente horizontal de la velocidad como el módulo por el coseno del ángulo que forma con el eje de las x, y añadiendo los valores de las masas que se conocen queda:

$(3.9)(2.1)=3.9v_{f1}cos(27.1)+4.8v_{f2}cos(27.1)$ (1)

De esta manera queda establecida la ecuación (1). Por otro lado, se hace lo mismo con el eje vertical, la componente y de la cantidad de movimiento también se conserva:

$m_{1}v_{01y}+m_{2}v_{02y}=m_{1}v_{f1y}+m_{2}v_{f2y}$

$0=-m_{1}v_{f1y}+m_{2}v_{f2y}$

Se observa que como la masa 1 tenía una velocidad totalmente horizontal, su velocidad en y es cero, luego por tanto su cantidad de movimiento también. De la misma manera la masa 2 que estaba en reposo haciendo cero el lado izquierdo de la igualdad.

Si se reemplazan los valores del problema, y aceptando el hecho de que la velocidad vertical es su módulo multiplicado por el seno del ángulo que se forma con el eje x, se obtiene:

$(3.9)v_{f1}cos(27.1)=(4.8)v_{f2}cos(27.1)$

Dividimos la ecuación para cos(27.1) y despejamos la velocidad final en la masa 1:

$v_{f1}=1.23v_{f2}$     (2)

Esta es la ecuación (2). Luego reemplazando la ecuación (2) en (1) se obtiene:

$8.19=4.8v_{f2}cos(27.1)+4.8v_{f2}cos(27.1)$

$8.19=9.6v_{f2}cos(27.1)$

$<strong>v_{f2}=0.96 [m/s]</strong>$

Y solo queda reemplazar en la ecuación (2) el valor de la velocidad final en m₂ para obtener la de m₁:

$<strong>v_{f1}=1.23(0.96)=1.18 [m/s]</strong>$

b) Se sabe que en una colisión elástica la energía cinética asociada se conserva, por lo que para contestar a esta pregunta basta con averiguar si esto se cumple o no.

$\frac{1}{2}m_{1}(v_{01})²+ \frac{1}{2}m_{2}(v_{02})²= \frac{1}{2}m_{1}(v_{f1})²+ \frac{1}{2}m_{2}(v_{f2})²$

Haciendo v₀₂=0, se reemplazan los valores conocidos:

$\frac{1}{2}(3.9)(2.1^{2})= \frac{1}{2}(3.9)(1.18^{2})+ \frac{1}{2}(4.8)(0.96^{2})$

Estimando estos valores llegamos a:

8.6 ≠ 4.93

c) Por lo que no se conserva la energía cinética del sistema en el cálculo anterior se puede hablar de una colisión inelástica.