Question

quien a de resolverlo

Answer 1

Aplicando leyes de los logaritmos para cambiar el logaritmo a base 10 tenemos que:
$log_{c} a= \frac{log a}{logc}$
Entonces:
$log_{(x+2)} 3 x^{2}+4x-14$=2

 $\frac{log (3 x^{2}+4x-14)}{log(x+2)}$=2
Multiplicamos ambos lados por "$log(x+2)$"
En el primer miembro de la ecuación se simplifica y en el segundo se multiplica:
$log (3 x^{2}+4x-14)=2log(x+2)$
Aplicando la ley de los logaritmos:
$alog(b)=log(b^{a} )$
Entonces:
$log (3 x^{2}+4x-14)=log (x+2)^{2}$
Cuando una igualdad está multiplicada por el logaritmo con la misma base se puede simplicar:
$Log_bf(x)=Log_bg(x)$------> f(x)=g(x)
F(x) & g(x) son funciones (números o incógnitas, polinomios o fórmulas)
Entonces:
$(3 x^{2}+4x-14)=(x+2)^{2}$
Desarrollando el cuadrado:
$3 x^{2}+4x-14=x^2+4x+4$
Igualamos la ecuación a 0:
$3x^2+4x-14-\left(x^2+4x+4\right)=0$
$3x^2+4x-14-x^2-4x-4=0$
Simplificamos factores comunes:
$2x^2-18=0$
Resolvemos con la fórmula general de ecuaciones de segundo grado.
$\frac{-b+- \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$
Donde a=2;b=0;c=-18
Sustituimos valores:
$\frac{-0+- \sqrt{ 0^{2} -4(2)(-18)} }{2(2)}$
$\frac{ +-\sqrt{ 144} }{4}= \frac{+-12}{4}$
Entonces tendremos :$x_1=3$ & $x_2=-3$
Evaluemos para ver cual de las 2 es la correcta, comenzamos con el valor positivo:
x=3 y lo sustituimos en la ecuación 
$\frac{log (3 x^{2}+4x-14)}{log(x+2)}=2$
$\frac{log (3 (3^{2})+4(3)-14)}{log(3+2)}=2$
$\frac{log (25)}{log(5)}=2$
Y si lo hacemos con la calculadora podremos comprobar que logaritmo de 25 entre logaritmo de 5 equivale a 2 y
2=2
Ya que la igual cumple, hemos comprobado matemáticamente que estamos en lo correcto y sabemos que es una respuesta correcta.