Question

De la cima de un faro de 8 m de alto se divisa la lancha con un ángulo de depresión de 30°. Calcula la distancia entre la lancha y el pie de faro

Answer 1

¡Hola!
 
Tenemos los siguientes datos:
 
Con la observación, se forma una similitud de triángulos, teniendo en cuenta que el triángulo presenta un ángulo recto de noventa grados y el ángulo agudo de treinta grados (observación de la parte superior del faro), luego el otro ángulo es sesenta grados. Entonces, en esta semejanza de triángulos tenemos un cateto opuesto al ángulo recto que mide ocho metros (altura del faro) y un cateto adyacente que mide x metros (distancia del faro hasta la lancha). Ante eso tendremos una tangente de treinta grados. Sabiendo que la tangente de un ángulo es igual a la razón del cateto opuesto con el cateto adyacente, luego:

$tg\: \alpha = \frac{cateto\:opuesto}{cateto\:adyacente}$

$tg\: 30\º = \frac{8}{x}$

Consultamos la tabla trigonométrica para la tangente

$\frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{8}{x}$

$\sqrt{3} *x = 3*8$

$\sqrt{3} x = 24$

$x = \frac{24}{ \sqrt{3} }$

Ahora, vamos a racionalizar el denominador

$x = \frac{24}{ \sqrt{3} }* \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$

$x = \frac{24 \sqrt{3}}{ (\sqrt{3})^2 }$

$x = \frac{24 \sqrt{3}}{ (\diagup\!\!\!\!\sqrt{3})\diagup\!\!\!^2 }$

$x = \frac{24 \sqrt{3}}{ 3 }$

$\boxed{\boxed{x = 8 \sqrt{3} \:m}}\Longleftarrow(distancia\:entre\:la\:lancha\:y\:el\:pie\:de\:faro)\end{array}}\qquad\quad\checkmark$

Para una mejor comprensión, observe el gráfico: