Question

Resolver la siguiente ecuacion diferencial y'=2xy/(3x^2-y^2) , .

Answer 1

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy}{3x^2-y^2}\\ \\ \\ 2xy~dx+(y^2-3x^2)~dy=0\\ \\ \texttt{Sea: }P=P(x,y)=2xy~~\&~~Q=Q(x,y)=y^2-3x^2\\ \\ \\ \texttt{Veamos si es EDO exacta:}\\ \\ P_y=2x~~\&~~Q_x=-6x~~~~(P_y\neq Q_x\rightarrow \text{no es exacta})\\ \\ \texttt{Ahora busquemos un factor integrante para la EDO, sea este }\\ u=u(x,y)\texttt{, as\'i tenemos a la EDO:}\\ \\ 2xyu~dx+(y^2-3x^2)u~dy=0$


$P=2xyu\to P_y=2xu+2xyu_y\\ \\ Q=(y^2-3x^2)u\to Q_x=-6xu+(y^2-3x^2)u_x\\ \\ \texttt{Nos conviene que la funci\'on }u\texttt{ sea }u=u(y)\texttt{ para no arrastrar }\\\texttt{al binomio }y^2-3x^2\texttt{. Entonces hagamos }u=u(y):\\ \\ P_y=2xu+2xyu_y\\ Q_x=-6xu\\ \\ \texttt{Para que la EDO sea exacta se debe cumplir que }P_y=Q_x:\\ \\ 2xu+2xyu_y=-6xu\\ \\ 2xyu_y=-8xu\\ \\ \dfrac{u_y}{u}=-\dfrac{4}{y}\\ \\ \\ \dfrac{du}{u}=-\dfrac{4}{y}dy$


$\displaystyle \int\dfrac{du}{u}=-4\int\dfrac{dy}{y}\\ \\ \\ \ln|u|=-4\ln|y|\\ \\ u=y^{-4}\\ \\ \texttt{Por lo tanto tenemos la EDO de esta forma:}$


$2xy^{-3}~dx+(y^2-3x^2)y^{-4}~dy=0\\ \\ \\ \texttt{Supongamos que la EDO proviene de ...}:\\ \\ dF(x,y)=0\to F_x~dx+F_y~dy=0\\ \\ \texttt{es decir:}\\ \\ F_x=2xy^{-3}~~\&~~F_y=(y^2-3x^2)y^{-4}\\ \\ \\ \texttt{Centr\'emonos en }F_x=2xy^{-3}\\ \\ F(x,y)=x^2y^{-3}+\phi(y)\\ \\ \texttt{A partir de esto hallemos }F_y:\\ \\ F_y=-3x^2y^{-4}+\dfrac{d\phi}{dy}=(y^2-3x^2)y^{-4}\\ \\ \to\dfrac{d\phi}{dy}=\dfrac{1}{y^2}\to \phi(y)=-\dfrac{1}{y}$


$\texttt{Por fin... }F(x,y)=x^2y^{-3}-\dfrac{1}{y}=C\\ \\ \\ \texttt{Soluci\'on de la EDO: }~~~~\boxed{x^2-y^2=Cy^3}$