Question

Pueden ayudarme a demostrar este limite por definición?. Gracias

Answer 1

$|x+1| \ \textless \ \delta \Rightarrow -\delta \ \textless \ x+1 \ \textless \ \delta\\ \\ \Rightarrow -\delta - 2 \ \textless \ x -1 \ \textless \ \delta - 2 \ \textless \ \delta + 2\\ \\ \Rightarrow |x-1| \ \textless \ \delta + 2\\ \\ \Rightarrow |x+1||x-1|\ \textless \ \delta(\delta+2)\\ \\ \Rightarrow |x^2-1|\ \textless \ \delta(\delta+2)\\ \\ \Rightarrow |2x^2-2|\ \textless \ 2\delta(\delta+2)\\ \\ \text{haciendo }\varepsilon =2\delta(\delta+2)\\ \\ \delta = -1 + \sqrt{1+\dfrac{\varepsilon}{2}}~~,~~ \forall \varepsilon \ \textgreater \ 0\\ \\ \text{con esto demostramos la existencia de } \delta\ \textgreater \ 0~~~~~~\square\square\square$