Question

Resuelve las siguientes ecuaciones para 0 < x < 2 pi
6. a) 2cos x + 3 = 2

7. b) sen3x - 2 = -3sen3x

8. c) senx(2 - senx) = cos2x

Answer 1

Resuelve las siguientes ecuaciones para 0 < x < 2π

6. a) 2cos x + 3 = 2 

7. b) sen3x - 2 = -3sen3x 

8. c) senx(2 - senx) = cos2x 

Resolvemos:

$a) \\ 2\cos \left(x\right)+3=2 \Rightarrow 0\ \textless \ x\ \textless \ 2\pi \\ \\ 2\cos \left(x\right)=2-3 \\ \\ 2\cos \left(x\right)=-1 \\ \\ Despejamos \\ \\ \cos \left(x\right)=-\frac{1}{2} \\ \\ \cos \left(x\right)=-\frac{1}{2}:\quad x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,\:\quad x=\frac{4\pi }{3}+2\pi n \\ \\ \boxed{x=\frac{2\pi }{3},\:x=\frac{4\pi }{3}} \ \surd$

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$b) \\ \\ sen \left(3x\right)-2=-3 sen \left(3x\right)\Rightarrow\:0\ \textless \ x\ \textless \ 2\pi \\ \\ Hacemos \ una \ sustituci\'on: \\ \\ u=sen(3x) \\ \\ Reescribimos: \\ \\ u-2=-3u \\ \\ Agrupamos \ t\'erminos \ semejantes: \\ \\ u+3u=2 \\ \\ Hacemos \ las \ operaciones: \\ \\ 4u=2 \\ \\ u= \frac{4}{2} \\ \\ u=2 \\ \\ Regresamos \ a \ la \ original: \\ \\ sen \left(3x\right)=\frac{1}{2} \\ \\ sen \left(3x\right)=\frac{1}{2}:\quad 3x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\:\quad 3x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$

$Resolvemos: \\ \\ 3x=\frac{\pi }{6}+2\pi n \\ \\ x=\frac{\frac{\pi }{6}}{3}+\frac{2\pi n}{3} \\ \\ x=\frac{\frac{\pi }{6}+2\pi n}{3} \\ \\ x=\frac{\pi +12\pi n}{3\cdot \:6} \\ \\ x=\frac{\pi +12\pi n}{18} \\ \\ Ahora \ resolvemos \ este \\ \\ 3x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n \\ \\ x=\frac{\frac{5\pi }{6}}{3}+\frac{2\pi n}{3} \\ \\ Mcm= 6 \\ \\ x=\frac{5\pi +2\cdot \:6\pi n}{6} \\ \\ x=\frac{\frac{5\pi +12\pi n}{6}}{3} \\ \\ x=\frac{5\pi +12\pi n}{18} \\ \\ Unimos$

$x=\frac{\pi +12\pi n}{18},\:x=\frac{5\pi +12\pi n}{18} \\ \\ Entonces \\ \\ \boxed{x=\frac{\pi }{18},\:x=\frac{5\pi }{18},\:x=\frac{13\pi }{18},\:x=\frac{17\pi }{18},\:x=\frac{25\pi }{18},\:x=\frac{29\pi }{18}} \ \surd$

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$c) \\ \\ sen \left(x\right)\left(2-sen \left(x\right)\right)=\cos \left(2x\right)\Rightarrow\:0\ \textless \ x\ \textless \ 2\pi \\ \\ sen \left(x\right)\left(2-sen \left(x\right)\right)-\cos \left(2x\right)=0 \\ \\ Usamos \ est\'a \ identidad: \\ \\ \cos \left(2x\right)=1-2sen ^2\left(x\right) \\ \\ Resolvemos \\ \\ -1+2sen ^2\left(x\right)+2sen \left(x\right)-sen ^2\left(x\right) \\ \\ Sumamos \ elementos \ similares: \\ \\ sen ^2\left(x\right)+2sen \left(x\right)-1=0 \\ \\ Sustituci\'on: \\ \\ u=sen(x)$

$Reescribimos: \\ \\ -1+u^2+2u=0 \\ \\ Utilizamos \ la \ formula \ general: \\ \\ a=1, \\ \:b=2, \\ \:c=-1 \\ \\ \quad u=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot \:1\left(-1\right)}}{2\cdot \:1} \\ \\ Resolvemos \ y \ nos \ queda: \\ \\ u=\sqrt{2}-1,\:u=-1-\sqrt{2} \\ \\ Volvemos \ a \ la \ original: \\ \\ sen \left(x\right)=\sqrt{2}-1 \\ \\ Entonces \\ \\ sen \left(x\right)=a\quad \Rightarrow \quad \:x=arcsen \left(a\right)+2\pi n,\:\quad \:x=\pi -arcsen \left(a\right)+2\pi n$

$Soluci\'on \\ \\ \boxed{x=\pi -arcsen \left(\sqrt{2}-1\right),\:x=arcsen \left(\sqrt{2}-1\right)} \ \surd$

¡Espero haberte ayudado, saludos... G.G.H!