Question

Un alambre de 36 cm de largo se va a partir en dos
trozos. Una de las partes se ha de doblar en forma de
triángulo equilátero y la otra en forma de un rectángulo
cuya longitud es el doble de su anchura. ¿Cómo se debe
partir el alambre para que la suma de las áreas del
triángulo y el rectángulo sea mínima?

Answer 1

RESPUESTA

El alambre se debe picar de la siguiente forma:

Para el triangulo:   

3.a = 3.6,43 = 19,.29 cm

Para el rectangulo

2b + 2h = 2.2,785 + 2.5,57 = 16,71 cm


ANÁLISIS DEL PROBLEMA

Partimos de los datos que nos da el problema, donde indican la longitud total del alambre, esto nos dará cuanto es la suma máxima del perímetro ambas figuras (36 cm). Nos piden encontrar como se debe partir el alambre para que la suma de las áreas del triangulo y el rectángulo sea mínima, para esto necesitamos:

- Cual es la función de la suma de las áreas (función a optimizar)

- Una función auxiliar (suma de perímetros)

Para esto analizamos cada figura:

Para el rectángulo: su longitud es el doble de su anchura

Área_r = b.h                pero  b = 2h 
Área_r = 2h.h 
Área_r = 2h²

Para su perimetro, que es la suma de sus lados:

Perimetro_r = 2b + 2h
Perimetro_r = 2.2h + 2h  
Perimetro_r = 4h + 2h   
Perimetro_r = 6h
 
Para el triangulo: es equilatero (todos sus lados miden igual)

Área_t = √3 . a²/4
Perimetro_t = 3a 

La ecuación a minimizar es la suma de las áreas de ambas figuras

Área_total =  2h² +  √3 . a²/4

La ecuación auxiliar es la suma de los perímetros

3a + 6h = 36h = (12-a)/2

Sustituimos la ecuación auxiliar en la ecuación a minimizar

Área_total =  2h² +  √3 . a²/4Área_total =  2h² +  √3 . a²/4
Área_total = 2.((12-a)/2)² + √3 . a²/4
f(a) = 72 - 12a + 0.5a² + √3 . a²/4

Para optimizar inspeccionamos la primera derivada y la igualamos a 0

f'(a) = (2√3/4).a - 12 + 0.5a + (√3/2)a = 0

Despejamos a:

a = 12.2/(√3 + 2) 
a = 24/3,7320
a = 6,43

En base a este calculamos el resto de los lados para el rectangulo:

h = 0.5(12-6,43)
h = 2,785

b = 2.h = 2.2,785
b = 5,57