Question

Determine el rango de la siguiente función f(x)= (x-4)/(3x+2) y compruebe con Geogebra

Answer 1

Para hallar el rango de una función se debe graficar para así poder apreciar los valores de “y” que se obtienen al efectuar sobre x (o dominio) las operaciones indicadas por f o se despeja el valor de “x” y se toman las respectivas restricciones para verificar los valores de "y" que pueden ser tomados en cuenta.

Primeramente, se puede apreciar que f(x)= (x-4)/(3x+2) es una función derivada de la función recíproca [f(x)=1/x], cuyo dominio es (-∞,0) U (0,+∞) y cuyo rango es (-∞,0) U (0,+∞). Esto nos indica que hay una asíntota en x = 0. Una asíntota es una línea a la cual una función intenta alcanzar pero no lo alcanza. Por ello, tanto el dominio como el rango intentan llegar a ese valor pero nunca lo llegan a alcanzar.

Para nuestra función, hay que hacer una restricción y es la siguiente:

3x + 2  ≠ 0

Esta restricción es debido a que la función recíproca nos dice que el denominador de la función no puede ser cero, ya que una división entre cero no está definida. Al resolver la ecuación, nos queda que:
3x + 2 ≠  0

3x ≠ -2

x ≠ -2/3

La variable x no puede tomar el valor de -⅔ ya que si toma ese valor, el denominador se haría cero y habría una división por cero. Entonces, por definición de la función recíproca, en x = -⅔ habrá una asíntota.

Por lo tanto, el dominio de nuestra función f(x)= (x-4)/(3x+2) es (-∞, -2/3) U (-2/3,+∞). Donde -2/3 = -0.66.

Para hallar el rango de dicha función, despejamos x

(x - 4)/(3x + 2) = y

x - 4 = y * (3x + 2)

x -4 = 3xy + 2y

x - 3xy = 2y + 4

x * (1 - 3y) = 2y + 4

x = (2y + 4)/(1 - 3y)

Volvemos a tomar restricción, la cual es que el denominador debe ser distinto de cero.
1 - 3y ≠ 0

1 ≠ 3y

y ≠ 1/3

"y" no puede tomar el valor de ⅓ . Por ello, el rango de la función f(x)= (x-4)/(3x+2) es (-∞, 1/3) U (1/3,+∞). Donde 1/3 = 0.33.
El resultado en geogebra se puede apreciar en la imagen adjunta.