Question

Construccion de funciones: Un cable de 10 metros de longitud se corta en dos partes, una servira para formar un cuadrado y la otra para formar un rectangulo cuya base es el doble de su altura. Exprese el area que encierra el cable como una funcion de la longitud de la diagonal del cuadrado.

Answer 1

Hola!

En este caso diremos que el cuadrado formado por el primer trozo de cable tendrá como lado "L" y por lo tanto, el rectángulo formado por el segundo trozo tendrá como Altura "L" y según lo planteado en el ejercicio, su Base será "2L"

Además, sabemos que el área total que encierra el cable es igual a la suma del área del cuadrado más el área del rectángulo (AT = A1 + A2)... Pero si tenemos que plantear la función en base a la diagonal del cuadrado diremos lo siguiente:

La fórmula de la diagonal del cuadrado parte del Teorema de Pitágoras que dice que H² = C² + C²

En este caso llamaremos a la hipotenusa o diagonal del cuadrado "X" y los catetos serán "L" obedeciendo a lo establecido en párrafos anteriores.

Entonces $X=\sqrt{L^{2} + L^{2}}$
Es decir... $X=\sqrt{2L^{2}}$ o incluso $X=\sqrt{2} . \sqrt{L^{2}}$

Ahora... Plantearemos las fórmulas para el cálculo del área del cuadrado y del rectángulo teniendo en cuenta las "medidas" de los lados establecidas anteriormente.

Área del cuadrado:
A1 = L x L
A1 = L²

Área del rectángulo:
A2 = Base x Altura
A2 = 2L x L
A2 = 2L²

Si observamos la fórmula de la diagonal ... $X=\sqrt{2L^{2}}$ o $X=\sqrt{2} . \sqrt{L^{2}}$ podemos ver coincidencias con las fórmulas del cálculo del área del cuadrado y del rectángulo de forma que podríamos decir que:

$X=\sqrt{2L^{2}}$
$X=\sqrt{A2}$
Es decir que por despeje:
A2 = X²

Y $X=\sqrt{2} . \sqrt{L^{2}}$
$X=\sqrt{2} . \sqrt{A1}$
Es decir que por despeje:
$A1 =(\frac{X}{\sqrt{2}})^{2}$
$A1 =\frac{X^{2}}{2}$

Es decir que si el área total que encierra el cable es igual a la suma del área del cuadrado más el área del rectángulo pero necesitamos construir la función en base a X, que es la diagonal del cuadrado, sustituimos y diremos que:
AT = A1 + A2
$f(X) = \frac{X^{2}}{2} + X^{2}$

Y eso sería todo!