Question

Halla solucion de estos sistemas

A. X+y=1
Xy+2y=2

B. 2x+y=3
X^2+y^2=2

C. 2x+y=3
Xy-y^2=0

Answer 1

Hola!

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar el método de la sustitución de la siguiente forma:

A.     X + Y = 1
        XY + 2Y = 2

Despejamos X en la primera ecuación y sustituimos su valor en la segunda ecuación
X = 1 - Y 

XY + 2Y = 2
(1 - Y)Y + 2Y = 2
Y - Y² + 2Y = 2
-Y² + 3Y - 2 = 0 
   
Y ahora hacemos uso de la función cuadrática para la resolución de binomios de segundo grado:
$\frac{-b +- \sqrt{b^{2} - 4ac }}{2a}$
$\frac{-(3) +- \sqrt{(3)^{2} - 4(-1)(-2)}}{2(-1)}$
$\frac{-3 +- \sqrt{9 - 8}}{-2}$
$\frac{-3 +- \sqrt{1}}{-2}$
$\frac{-3 + 1}{-2}$     o    $\frac{-3 -1}{-2}$
$\frac{-2}{-2}$     o    $\frac{-4}{-2}$  
Y = 1     o     Y = 2
   
Y para cada valor de Y, hay un valor de X ya que según la primera ecuación despejada X = 1 - Y. Entonces decimos que:
X = 1 - 1      o     X = 1 - 2
X = 0      o     X = -1

B.   2X + Y = 3
       X² + Y² = 2
   
Despejamos Y en la primera ecuación y sustituimos su valor en la segunda ecuación
Y = 3 - 2X
   
X² + Y² = 2
X² + (3 - 2X)² = 2
X² + 9 - 12X + 4X² = 2
5X² - 12X + 9 - 2 = 0
5X² - 12X + 7 = 0
   
Y ahora hacemos uso de la función cuadrática para la resolución de binomios de segundo grado:
$\frac{-b +- \sqrt{b^{2} - 4ac }}{2a}$
$\frac{-(-12) +- \sqrt{(-12)^{2} - 4(5)(7)}}{2(5)}$
$\frac{12 +- \sqrt{144 - 140} }{10}$
$\frac{12 +- \sqrt{4} }{10}$
$\frac{12 + 2}{10}$     o     $\frac{12 - 2}{10}$
$\frac{14}{10}$     o     $\frac{10}{10}$ 
X = 1,4     o     X = 1

Y para cada valor de X, hay un valor de Y ya que según la primera ecuación despejada Y = 3 - 2X. Entonces decimos que:
Y = 3 - 2(1,4)     o     Y = 3 - 2(1)
Y = 0,2   o     Y = 1

C.     2X + Y = 3
         XY - Y² = 0

Despejamos Y en la primera ecuación y sustituimos su valor en la segunda ecuación
Y = 3 - 2X

XY - Y² = 0
X(3 - 2X) - (3 - 2X)² = 0
X(3 - 2X) + (-3 + 2X)² = 0
3X - 2X² + 9 - 12X + 4X² = 0
2X² - 9X + 9 = 0
   
Y ahora hacemos uso de la función cuadrática para la resolución de binomios de segundo grado:
$\frac{-b +- \sqrt{b^{2} - 4ac }}{2a}$
$\frac{-(-9) +- \sqrt{(-9)^{2} - 4(2)(9)}}{2(2)}$
$\frac{9 +- \sqrt{81 - 72 } }{4}$
$\frac{9 +- \sqrt{9} }{4}$
$\frac{9 + 3}{4}$     o     $\frac{9 - 3}{4}$
$\frac{12}{4}$     o     $\frac{6}{4}$ 
X = 3     o     X = 1,5
   
Y para cada valor de X, existe un valor de Y ya que según la primera ecuación despejada Y = 3 - 2X. Entonces decimos que:
Y = 3 - 2(3)     o     Y = 3 - 2(1,5)
Y = - 3   o     Y = 0
   
Saludos!