Question

Aplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales:

Answer 1

Hola.

$\int _0^1\frac{3}{4+\sqrt{x}}dx$

$Sacar \ constante: \\ \\ \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx \\ \\ 3\cdot \int \:\frac{1}{4+\sqrt{x}}dx$

$Aplicamos \ regla \ de \ sustitucion: \\ \\ u= \sqrt{x} \\ \\ 3\cdot \int \:\frac{2u}{4+u}du \\ \\ Sacar \ constante: \\ \\ \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx \\ \\ 3\cdot \:2\cdot \int \:\frac{u}{4+u}du$

$Calculamos: \frac{v-4}{v} \\ \\ Propiedad \ de \ fracciones: \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \\ \\ \frac{v-4}{v}=\frac{v}{v}-\frac{4}{v} \\ \\ 1-\frac{4}{v} \\ \\ Reescribimos: \\ \\ 3\cdot \:2\cdot \int \:1-\frac{4}{v}dv$

$Regla \ de \ la \ suma: \\ \\ \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx \\ \\ \int \:1dv = v \\ \\ \int \frac{4}{v}dv \\ \\ Sacar \ constante: \\ \\ \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx \\ \\ 4\cdot \int \:\frac{1}{v}dv \\ \\ Aplicamos: \\ \\ \int \:\frac{1}{v}dv=\ln \left(\left|v\right|\right) \\ \\ 4\ln \left|v\right|$

$3\cdot \:2\left(v-4\ln \left|v\right|\right) \\ \\ Sustituimos: \:v=4+u,\:u=\sqrt{x} \\ \\ 6\left(4+\sqrt{x}-4\ln \left|4+\sqrt{x}\right|\right) \\ \\ 6\left(4+\sqrt{x}-4\ln \left|4+\sqrt{x}\right|\right)+C$

$Aplicamos: \int _a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \\ \\ =\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right)$

$\lim _{x\to \:0+}\left(6\left(4+\sqrt{x}-4\ln \left|4+\sqrt{x}\right|\right)\right) \\ \\ 6\left(4+\sqrt{0}-4\ln \left|4+\sqrt{0}\right|\right) \\ \\ 6\left(4-8\ln \left(2\right)\right)$

$\lim _{x\to \:1-}\left(6\left(4+\sqrt{x}-4\ln \left|4+\sqrt{x}\right|\right)\right) \\ \\ 6\left(4+\sqrt{1}-4\ln \left|4+\sqrt{1}\right|\right) \\ \\ 6\left(5-4\ln \left(5\right)\right) \\ \\ 6\left(5-4\ln \left(5\right)\right)-6\left(4-8\ln \left(2\right)\right)$

$\boxed{Respuesta: \boxed{6\left(1-4\ln \left(5\right)+\ln \left(256\right)\right)}}$

¡Espero haberte ayudado, saludos...!