Question

ayuden con este ejercicio porfa

Answer 1

PRIMERA PARTE:
Solucionamos la ecuación de segundo grado:

X² + 1 = 4X
X² - 4X + 1 = 0
Resolvemos por fórmula general:  $\boxed{X=\dfrac{-b\pm \sqrt{(b) ^{2}-4(a)(c) } }{2(a)} }$
Valores:
a = 1
b = - 4
c = 1

Reemplazamos los valores en la fórmula:

$X= \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4) ^{2}-4(1)(1) } }{2(1)}\\ \\ \\X= \dfrac{4\pm \sqrt{16-4} }{2}\\ \\ \\X= \dfrac{4\pm \sqrt{12} }{2}\quad\to\boxed{ Descomponemos\ la\ ra\'iz.}\\ \\ \\X= \dfrac{4\pm \sqrt{4*3} }{2}\\ \\ \\X= \dfrac{4\pm \sqrt{2 ^{2}*3 } }{2}\\ \\ \\X= \dfrac{4\pm2 \sqrt{3} }{2}$


Obteniendo X₁:

$X_{1}= \dfrac{4+2 \sqrt{3} }{2}\to\ Factorizamos\ el\ numerador\ por\ t\'ermino\ com\'un.\\ \\ \\X_{1}= \dfrac{2(2+1 \sqrt{3}) }{2}\to\ Cancelamos\ el\ t\'ermino\ com\'un\ 2.\\ \\ \\X_{1}=2+1 \sqrt{3}\\ \\ \\X_{1}=2+ \sqrt{3}\quad\checkmark\ \boxed{La\ primera\ ra\'iz.}$


Obteniendo X₂:

$X_{2}= \dfrac{4-2 \sqrt{3} }{2}\to\ Factorizamos\ el\ numerador\ por\ t\'ermino\ com\'un.\\ \\ \\X_{2}= \dfrac{2(2-1 \sqrt{3}) }{2}\to\ Cancelamos\ el\ t\'ermino\ com\'un\ 2.\\ \\ \\X_{2}=2-1 \sqrt{3}\\ \\ \\X_{2}=2- \sqrt{3}\quad\checkmark\ \boxed{La\ segunda\ ra\'iz.}$


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SEGUNDA PARTE:
Calculamos  $X ^{3}+X ^{-3}$   reemplazando con X₁ en los términos:

$(2+ \sqrt{3}) ^{3}+(2+ \sqrt{3}) ^{-3}\quad\to\ Aplicamos\ leyes\ de\ exponentes.\\ \\(2+ \sqrt{3}) ^{3}+ \dfrac{1}{(2+ \sqrt{3}) ^{3}}$

Tenemos un binomio al cubo a ambos lados, y lo resolvemos utilizando la fórmula:  $(a+b) ^{3}=a ^{3}+3a ^{2}b+3ab ^{2}+b^{3}$ :

$(2)^{3}+3(2)^{2}( \sqrt{3})+3(2)( \sqrt{3})^{2}+( \sqrt{3} )^{3}+ \frac{1}{(2)^{3}+3(2)^{2}( \sqrt{3})+3(2)( \sqrt{3})^{2}+( \sqrt{3} )^{3}}\\ \\ \\8+12 \sqrt{3}+18+3 \sqrt{3}+ \dfrac{1}{8+12 \sqrt{3}+18+3 \sqrt{3}}\\ \\ \\26+15 \sqrt{3}+ \dfrac{1}{26+15 \sqrt{3}}$

Multiplicamos el segundo término por su conjugado:

$26+15 \sqrt{3}+ \left(\dfrac{1}{26+15 \sqrt{3}}* \dfrac{26-15 \sqrt{3} }{26-15 \sqrt{3}}\right)\\ \\ \\26+15 \sqrt{3}+ \left( \dfrac{1(26-15 \sqrt{3})}{(26+15 \sqrt{3})*(26-15 \sqrt{3})}\right)$

En el denominador tenemos una suma por la diferencia de dos términos, y lo resolvemos con la fórmula:   $(a+b)(a-b)=a ^{2}-b^{2}$ :

$26+15 \sqrt{3}+ \left( \dfrac{26-15 \sqrt{3}}{(26) ^{2}-(15 \sqrt{3}) ^{2} }\right)\\ \\ \\26+15 \sqrt{3}+ \left( \dfrac{26-15 \sqrt{3}}{676-(225*3) }\right)\\ \\ \\26+15 \sqrt{3}+ \left( \dfrac{26-15 \sqrt{3}}{676-675 }\right)\\ \\ \\26+15 \sqrt{3}+ \left( \dfrac{26-15 \sqrt{3}}{1}\right)\\ \\ \\26+15 \sqrt{3}+(26-15 \sqrt{3})\\ \\ \\26+15 \sqrt{3}+26-15 \sqrt{3}\quad\to\ Operamos\ t\'erminos\ semejantes.\\ \\ \\\boxed{\boxed{52}}\quad\checkmark\ \textbf{RESPUESTA}$

MUCHA SUERTE...!!