Question

Una torre de agua de 30 m de alto se coloca en la cima de una
colina. Desde una distancia de 120 m colina abajo, se observa que el
ángulo entre la parte superior y la base de la torre es de 8º.
Encuentre el ángulo de inclinación de la colina.

Answer 1

El ángulo de inclinación de la colina es de 48.17°

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a dos triángulos, por tanto:

Representamos la situación en dos triángulos: el ADC y el BCD, en donde el primero es obtusángulo y el segundo rectángulo

En donde para el triángulo obtusángulo ADC: el lado AC representa la distancia desde la base de la colina hasta el extremo superior de la torre de agua, el lado CD equivale a la distancia desde el pie de la colina hasta la base de la torre de agua, donde se conoce la magnitud de ese lado y el ángulo comprendido entre esos dos lados. Y el lado AD es la altura de la torre de agua, de la cual también sabemos su dimensión

Y el triángulo rectángulo BCD: donde el lado CD es la inclinación de la colina hasta la base de la torre de agua y como se dijo se conoce su dimensión, donde el lado BC representa el plano horizontal donde se asienta la base de la colina y el lado BD es la altura de la misma.

Notemos que los dos triángulos juntos conforman un triángulo rectángulo ABC

Trabajamos en el triángulo obtusángulo ADC

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Denotamos al ángulo dado por enunciado de 8° como γ

Hallamos el valor del ángulo que se encuentra en el vértice A al que denotamos como α

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed { \bold { \frac{120 \ m}{ sen(\alpha ) } = \frac{30 \ m }{sen(8^o)} }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{120\ m \ . \ sen(8^o) }{30 \ m} }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{120\ m \ . \ 0.13917310096}{30 \ m} }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{16.7007721152 \not m }{30 \not m } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = 0.55669240384 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del seno para determinar el valor del \'angulo}\ \bold{\alpha}$

$\boxed { \bold { \alpha =arcsen ( 0.55669240384 ) }}$

$\boxed { \bold {\alpha = 33.8273^o}}$

$\large\boxed { \bold { \alpha =33.83^o}}$

Hallamos el valor del ángulo θ que es el ángulo de inclinación de la colina

Si observamos la figura que se adjunta podemos notar que el ángulo α que hallamos para el triángulo obtusángulo es el mismo que para el triángulo rectángulo que comprende a los dos triángulos, es decir el triángulo rectángulo ABC

Siendo el triángulo ABC rectángulo uno de sus ángulos mide 90°, y hemos hallado un ángulo agudo que tiene un valor de 33.83°

Vamos a determinar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 90^o+ 33.83^o + \ Angulo \ C } }$

$\boxed {\bold { Angulo \ C = 180^o - 90^o- 33.83^o }}$

$\large\boxed {\bold { Angulo \ C = 56.17^o }}$

Donde para obtener el ángulo requerido, el de la inclinación de la colina

En el triángulo ABC que contiene y comprende a los dos triángulos:

El obtusángulo ACD que nos lleva desde el vértice C hasta el extremo superior e inferior de la torre de agua; donde conocemos el ángulo medido que comprende a esas 2 longitudes

El triángulo rectángulo BCD que representa a la colina

Restamos del triángulo ABC los 56.17° hallados del ángulo C los 8° del triángulo oblicuángulo ADC

Resultando

$\boxed {\bold {\theta = 56.17^o -8^o }}$

$\large\boxed {\bold {\theta = 48.17^o }}$

Siendo el valor del ángulo de inclinación de la colina de 48.17°

La situación se puede apreciar en el gráfico adjunto, y el ángulo de inclinación de la colina se ve en el triángulo rectángulo BCD que la representa