Question

De un saco de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 plátanos se selecciona una muestra aleatoria de 4 frutas. si x es el número de naranjas y y el número de manzanas en la muestra, encuentre: a)la distribución de probabilidad conjunta de x y y b)la covarianza , .

Answer 1

Se parte de la siguiente fórmula

P(A | B) = P(A n B) / P(B)   donde “n” es intersección

P (y=0 | x=2) = P (y=0 n x=2) / P(x=2)

X = 2

o la probabilidad encontrar 2 naranjas

Tomando en consideración naranja y no naranja expresamos

Combinaciones totales: C (8, 4) = 8·7·6·5 / 4! = 70

las favorables son

C(3, 2)·C(5 ,2) = (3·2/2!)*(5·4/2) = 3·10 = 30

Luego la probabilidad es  P (y=2) = 30/70

Y veamos cual la P (y=0 n x=2)

debe haber 2 naranjas y 2 plátanos.

Los casos favorables son C (3, 2)·C(3,2) = 3·3 = 9

luego la probabilidad es 9/70

Luego la P condicionada es P(y=0 |x=2) = (9/70) / (30/70) = 9/30 = 0.3

Ya calculada la distribución para y = 0, hay que calcular para y=1,  y=2

Si y = 1 puede ser cualquiera de las 2 manzanas, cualquiera de los 3 plátanos y dos de las tres naranjas. 

Las posibilidades son 2·3·C (3,2) = 2·3·2=18

Y la P condicionada sería P (y=1 | x=2) = (18/70) / (30/70) = 18/30 = 0.6

·

Si y = 2 se toman las dos manzanas solo hay una forma de hacerlo. Como las  naranjas se han podido tomar de C(3,2) = 3 formas exponemos

P(y=2 | x=2) = (3/70) / (30/70) = 3/30 = 0.1

En conclusión

P (y=0 | x=2) = 0.3

P (y=1 | x=2) = 0.6

P (y=2 | x=2) = 0.1

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