la suma de tres numeros es 21 y la sum a de sus cuadrados es 179 ¿cual es la suma de los productos de dichos numeros tomados de 2 en 2 ?
Respuestas
3+7+11= 21
También.
3^2 + 7^2 + 11^2 = 179
9 + 49 + 121= 179
Se pide
3(7) + 7(11)= 21 + 77= 98
3(11) + 11(7)= 33 + 77= 110
--> R/.
La suma de los productos de los tres números que cumplen estas condiciones, tomados de 2 en 2, es igual a: 131
Análisis del problema
Escribimos en lenguaje matemático los datos del enunciado de la siguiente forma:
- Suma de tres números: x + y + z
- Cuadrado de un número: x²
- Suma de los cuadrados de tres números: x² + y² + z²
Ahora, la suma de los productos tomados de dos en dos se escribe: xy + yz + zx
Tenemos 3 ecuaciones y 4 incógnitas por lo que no podemos aplicar técnicas para sistemas de ecuación, sin embargo sabiendo que:
- x + y + z = 21 (Ec.1)
- x² + y² + z² = 179 (Ec.2)
Elevamos al cuadrado la Ec.1:
(x + y + z)² = 21²
[ (x+y) + z ]² = 441
(x+y)² + 2(x+y).z + z² = 441
x² + 2xy + y² + 2xz + 2yz + z² = 441
Agrupamos términos semejantes:
x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 441
x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) = 441
Sabemos que: x² + y² + z² = 179
179 + 2(xy + xz + yz) = 441
2(xy + xz + yz) = 441 - 179
2(xy + xz + yz) = 262
(xy + xz + yz) = 262 / 2
(xy + xz + yz) = 131
Por lo tanto la suma de los productos de 2 en 2 es igual a 131.
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