Question

El menor entero de un conjunto de enteros pares consecutivos es -30. Si la suma de tales enteros es 66 ¿cuántos elementos hay en el conjunto?

Answer 1

Yo usaría progresiones aritméticas.

El menor entero de esa suma es -30, por tanto, hay que ir sumando 2 unidades positivas a ese número para establecer la progresión de este modo:

-30, -28, -26... etc...

De esa progresión aritmética (PA) se pueden extraer los siguientes datos:

→ Primer término de la progresión... a₁ = -30
→ Diferencia entre términos consecutivos... d = 2
→ Número de términos de la PA ... n = Elementos del conjunto (lo que nos pide hallar) es una de las incógnitas.
→ Último término de la PA ... $a_n$ = desconocido (la otra incógnita)

Basándose en las dos fórmulas básicas de las PA se construye un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

$a_n=a_1+(n-1)*d \\ a_n=-30+(n-1)*2 \\ a_n=2n-32$

Ahí nos queda la primera ecuación. Ahora usaré la fórmula de suma de términos de una PA y sustituiré también los términos conocidos.

$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2} \\ \\ 66= \frac{(-30+a_n)*n}{2} \\ \\ 132=-30n+n*a_n$

Sustituyo ahora el valor de $a_n$  en función de "n" que está expresado en la primera ecuación construida arriba.

$132=-30n+n*(2n-32) \\ \\ 132=-30n+2n^2-32n \\ \\ 2n^2-62n-132=0$

A resolver por fórmula general ...  
$132=-30n+n*(2n-32) \\ \\ 132=-30n+2n^2-32n \\ \\ 2n^2-62n-132=0 \\ \\ n^2-31n-66=0 \\ \\ n_1_,n_2= \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\ \\ \left \{ {{n_1\ =\ \frac{31+35}{2} }=\ 33 \atop {n_2\ =\ se\ desestima\ por\ salir\ negativo}} \right.$

La respuesta es que el conjunto tiene 33 elementos.

Saludos.

PD: Si ves símbolos raros e incomprensibles en la resolución final, actualiza la página con la tecla F5 y los verás bien.