Question

Resolver esta integral propia de primera especie

Answer 1

Hola.

$\int \frac{1}{x\sqrt{x-1}}dx$

Aplicamos sustitución:

$u = \sqrt{x-1}$

Reescribimos:

$\int \frac{2}{u^2+1}du \\ \\ 2\cdot \int \:\frac{1}{u^2+1}du \\ \\ Aplicamos \ esta \ regla \ \int \:\frac{1}{u^2+1}du=\arctan \left(u\right) \\ \\ 2\arctan \left(u\right) \ \\ \\ Sustituimos: 2\arctan \left(\sqrt{x-1}\right)+C$

Ahora calculamos los limites:

$\int _a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right) \\ \\ \lim _{x\to \:2+}\left(2\arctan \left(\sqrt{x-1}\right)\right)=\frac{\pi }{2} \\ \\ \lim _{x\to \infty \:}\left(2\arctan \left(\sqrt{x-1}\right)\right)=\pi \\ \\ =\pi -\frac{\pi }{2} \\ \\ Respuesta: \frac{\pi }{2}\quad \left(\mathrm{Decimal:}\:1.57080\dots \right)$

¡Espero haberte ayudado, saludos...!