Question

la ecuación de la velocidad de un móvil es: v=(3t²+4)m/s y para t=0 el móvil ocupa una posición X=-2m calcular: (a) el espacio recorrido t=1 segundos hasta t=4. (b) la velocidad media en el intervalo anterior. (c) la aceleración en el instante inicial

Answer 1

velocidad instantanea  función del tiempo

v(t) = (3t²+4) m/s

Debes saber que el cambio de la posición respecto al tiempo es igual a la velocidad instantánea (función del tiempo) y que el cambio de la velocidad respecto al tiempo es igual a la aceleración instantánea (función del tiempo).

entonces la derivada es el operador que relaciona la variación de una cantidad respecto a otra.

$\frac{dx}{dt} =v(t)=3 t^{2} + 4$

para conocer la posición instantánea se debe integrar

∫dx = ∫(3t²+4)dt
x(t) = (t³+4t+c) m

entonces ya conoces la posición instantanea, pero necesitas saber cual es el valor de la constante c , entonces para eso haces uso de las condiciones que dan

para t = 0 s ocupa una posicion de x = -2m

x(0) = 0³+4(0)+c = -2
c = -2

entonces la constante c es igual a -2 por lo que la posición instantánea quedaría expresada como

x(t) = (t³+4t-2) m

ahora, se necesita saber cual es la aceleración instantánea 

$a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t$

a(t) = (6t) m/s²

ya tenes la aceleración instantánea

ahora si se pueden responder las preguntas

(a) espacio recorrido de t₁ = 1 s hasta t₂ = 4 s

x(t) = (t³+4t-2) m

x(1) = 1³+4(1)-2 
x(1) = 3 m

x(4) = 4³+4(4)-2
x(4) = 78 m

el espacio recorrido es de 

x(4) - x(1) = 78 - 3 = 75 m

es de 75 metros.

(b) velocidad media entre t₁ = 1 s y t₂ = 4 s

la velocidad media se define como

$v_{media} = \frac{x( t_{2} )-x( t_{1} )}{ t_{2} - t_{1} }$

entonces la velocidad media en ese intervalo es de

vmed = 78-3/4-1 = 75/3 = 25 m/s

es de 25 m/s

(c) aceleración para t₁ = 1 s

a(t) = (6t) m/s²
a(1) = 6(1)

a(1) = 6 m/s²

la aceleracion en el primer instante es de 6 m/s²